将一个直角三角形纸片
放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点B在第一象限，
，
，点P在边
上（点P不与点
重合）．
（1）如图①，当
时，求点P的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且
，点O的对应点为
，设
．
①如图②，若折叠后
与
重叠部分为四边形，
分别与边
相交于点
，试用含有t的式子表示
的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为S，当
时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
答案
（1）点P的坐标为
；（2）①
，t的取值范围是
；②
．
【分析】
（1）过点P作
轴，则
，因为
，
，可得
，进而得
，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得
，进而用勾股定理可得
，点P的坐标即求出；
（2）①由折叠知，
，所以
，
；再根据
，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形
为菱形，所以
，可得
；根据点A的坐标可知
，加之
，从而有
；而在
中，
，
又因为
，所以得，由和
的取值范围可得t的范围是；
②由①知，
为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以
,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而
，
,进而可得
，又已知t的取值范围是
，即可得．
【详解】
解：（1）如图，过点P作轴，垂足为H，则．
，
．
．
在
中，
，
，．
点P的坐标为
．
（2）①由折叠知，，
，．
又
，
．
四边形为菱形．
．可得．
点
，
．有．
在中，．
，
，其中t的取值范围是．
②由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，
∴，,
∴，
∵，
∴．
，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
