如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此4，12，20都是“神秘数”

(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

(3)两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？

答案

(1)28和2012是神秘数（2）是4的倍数（3）8k不能整除8k+4

【分析】

（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)²-(2n-2)²=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.

【详解】

（1）设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：

(2m+2)²-(2m)²=28，

8m+4=28，

m=3，

∴2m=6，2m+2=8，即8²-6²=28，

∴28是“神秘数”.

(2m+2)²-(2m)²=2012，

8m+4=2012，

m=501，

∴2m=1002

∴2012是“神秘数”.

（2）是；理由如下：

∵(2n)²-(2n-2)²=4(2n-1)，

∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.

（3）由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，

∵2n-1是奇数，

∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，

设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，

则(2n+1)²-(2n-1)²=8n.

∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，

∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.

【点睛】

本题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用