（探索新知）

如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．

（解决问题）

（1）如图2，若∠MPN=，且射线PQ是∠MPN的“妙分线”，则∠NPQ= ____     ．（用含的代数式表示出所有可能的结果）

（深入研究）

如图2，若∠MPN=54°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成时停止旋转，旋转的时间为t秒．

（2）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“妙分线”．

（3）若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．请求出当射线PQ 是∠MPN的“妙分线”时t的值．

答案

（），，；（），，；（），， .

【解析】

试题分析：（1）分3种情况，根据妙分线定义即可求解；

（2）分3种情况，根据妙分线定义即可求解；

（3）分3种情况，根据妙分线定义即可求解．

试题解析：解：（1）∵∠MPN=α，∴∠MPQ=α或α或α；

故答案为α或α或α；

（2）依题意有

①8t=54+×54，解得t=；

②8t=2×54，解得t=；

③8t=54+2×54，解得t= ．

故当t为s或s或s时，射线PM是∠QPN的“妙分线”；

（3）依题意有

①8t=（6t+54），解得t=3；

②8t=（6t+54），解得t=5.4；

③8t=（6t+54），解得t=9．

故当t为3s或5.4s或9s时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．

点睛：本题考查了旋转的性质，妙分线的定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“妙分线”的定义是解题的关键．