如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；

（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M₁（），M₂（，）．

【解析】

（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；

（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；

（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M₁E的解析式；然后联立直线BC和M₁E的解析式即可求得M₁的坐标；在直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂，利用中点坐标公式即可确定点M₂的坐标

【详解】

解：（1）∵直线经过点

∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）

当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）

∴解得

∴该抛物线的解析式为

（2）的为直角三角形，理由如下：

∵解方程=0，则x₁=1，x₂=5

∴A（1,0），B（5,0）

∵抛物线的对称轴l为x=3

∴△APB为等腰三角形

∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）

∴OB=CO=5,即∠ABP=45°

∴∠ABP=45°，

∴∠APB=180°-45°-45°=90°

∴∠APC=180°-90°=90°

∴的为直角三角形；

（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，

∵M₁A=M₁C，

∴∠ACM₁=∠CAM₁

∴∠AM₁B=2∠ACB

∵△ANB为等腰直角三角形.

∴AH=BH=NH=2

∴N（3，2）

设AC的函数解析式为y=kx+b

∵C(0，5),A(1，0)

∴ 解得b=5，k=-5

∴AC的函数解析式为y=-5x+5

设EM₁的函数解析式为y=x+n

∵点E的坐标为（）

∴=× +n，解得：n=

∴EM₁的函数解析式为y=x+

∵ 解得

∴M₁的坐标为（）；

在直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂

设M₂（a，-a+5）

则有：3=，解得a=

∴-a+5=

∴M₂的坐标为（，）．

综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M₁（），M₂（，）．

【点睛】

本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．