已知函数均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；

（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；

（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）

答案

（1）（0,1）；1或0   （2）   （3）

【解析】

（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；

（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；

（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D    、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．

【详解】

解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），

设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，

所以直线的表达式为：y=x+1,

若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，

若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，

综上，，或者

（2）如图，

，

，

，

设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH

，

四边形GPTH是正方形

，，即

；

（3），

分别交x轴，y轴于C，E两点

，

图象交x轴于D点

二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点

顶点

抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上

且

，

∴，

由，得到，，

由得到与x轴，y轴交点是，，，

抛物线经过，两点

的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积

探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．

探究过程：

①观察大于S的情况．

很容易发现

，

（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）

②观察小于S的情况．

选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：

位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N

，

直线

设直线

，

直线

点

位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R

设直线，

直线

，

直线

点

位置三：如图

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q

设直线

，

直线

点

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值

探究的结论：按上述方法可得一个取值范围

（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）

【点睛】

本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．