如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

【解答】（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x²+bx+c中，

得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝x²﹣4x+3．

（2）设点M的坐标为（m，m²﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，

把点点B（3，0）代入y＝kx+3中，

得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．

∵抛物线的解析式为y＝x²﹣4x+3＝（x﹣2）²﹣1，

∴抛物线的对称轴为x＝2，

∴点（1，0）在抛物线的图象上，

∴1＜m＜3．

∵线段MN＝﹣m+3﹣（m²﹣4m+3）＝﹣m²+3m＝﹣+，

∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．

（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．

当m＝时，点N的坐标为（，），

∴PB＝＝，PN＝，BN＝＝．

△PBN为等腰三角形分三种情况：

①当PB＝PN时，即＝，

解得：n＝，

此时点P的坐标为（2，）；

②当PB＝BN时，即＝，

解得：n＝±，

此时点P的坐标为（2，﹣）或（2，）；

③当PN＝BN时，即＝，

解得：n＝，

此时点P的坐标为（2，）或（2，）．

综上可知：在抛物线的对称轴l上存在点P，使△PBN是等腰三角形，点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．

【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．