已知直线y=kx﹣2k+3(k≠0)与抛物线y=a(x﹣2)2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧).
(1)不论k取何值,直线y=kx﹣2k+3必经过定点P,直接写出点P的坐标 .
(2)如图(1),已知B,C两点关于抛物线y=a(x﹣2)2的对称轴对称,当时,求证:直线AC必经过一定点;
(3)如图(2),抛物线y=a(x﹣2)2的顶点记为点D,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,与直线BD交于点F,求线段EF的长.
【解析】(1)∵y=kx﹣2k+3=k(x﹣2)+3,
∴直线y=kx﹣2k+3必过点(2,3).
故答案为(2,3).
(2)证明:联立直线AB和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
∴点A的坐标为,点B的坐标为(k+2+,k2+k+3).
∵B,C两点关于抛物线y=a(x﹣2)2的对称轴对称,
∴点C的坐标为(2﹣k﹣,k2+k+3).
设直线AC的解析式为y=mx+n(m≠0),
将A(k+2﹣,k2﹣k+3),C(2﹣k﹣,k2+k+3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2﹣3.
∵﹣x+2﹣3=﹣(x﹣2)﹣3,
∴直线AC必经过定点(2,﹣3).
(3)联立直线AB和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
∴点A的坐标为(+2,+3),点B的坐标为(+2,+3).
∵抛物线y=a(x﹣2)2的顶点记为点D,
∴点D的坐标为(2,0).
∴直线BD的解析式为y=
∵过点A作AE⊥x轴,垂足为E,与直线BD交于点F,
∴点E的坐标为(,0),点F的坐标为(,﹣3),
∴EF=3.
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