如图1,抛物线与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),抛物线顶点为D,连接AC,BC,CD,BD,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,作PM⊥x轴于点M,设点M的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)试探究是否存在这样的点P,使得以P,M,B为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,PM交线段BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交线段BC于点F,请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出当m为何值时QF有最大值.
【解析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),
将C(0,-3),代入可得:﹣3a=﹣3,解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3,
根据顶点坐标公式得出D的坐标为
∴点D的坐标为(1,﹣4);
(2)由(1)知,点B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,﹣3)、(1,﹣4),
则BC=3 ,CD=,BD=,
则△BCD是直角三角形,∠BCD=90°,
①当△PMB∽△BCD时,
则∠MPB=∠DBC,即:tan∠MPB=tan∠DBC= ,
∵点M(m,0),则点P(m,m2﹣2m﹣3),
tan∠MPB=,
解得:m=2或3(舍去3),
故点P(2,﹣3);
②当△BMP∽△BCD时,
同理可得:点P(﹣,﹣);
故点P的坐标为:(2,﹣3)或(﹣,﹣);
(3)设QF为y,作FH⊥PM于点H,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°
则FH=QH=y,
∵PE∥AC,PM∥OC,则∠PEM=∠HFP=∠CAO,
∴△FHP∽△AOC,
则PH=3FH=y,
∴PQ=,
根据点B、C的坐标求出直线BC的表达式为:y=x﹣3,
则点P(m,m2﹣2m﹣3),点Q(m,m﹣3),
所以PQ=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,即:2y=﹣m2+3m,
则y=,.
∴当m=时,QF有最大值.
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