如图，四边形中ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AD＝CD＝8cm，AB＝12cm，动点M从A出发，沿线段AB作往返运动（A﹣B﹣A），速度为3（cm/s），动点N从C出发，沿着线段C﹣D﹣A运动，速度为2（cm/s），当N到达A点时，动点M、N运动同时停止．

（1）当t＝5（s）时，则MN两点间距离等于　   　（cm）；

（2）当t为何值时，MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分？

（3）若线段MN与AC的交点为P，探究是否存在t的值，使得AP：PC＝1：2？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．

答案

【解析】（1）如图所示，当t＝5（s）时，点N移动的路程为10，点M移动的路程为15，

∴点N在AD上，DN＝10﹣8＝2，点M在AB上，BM＝15﹣12＝3，

∴AN＝6，AM＝9，

过D作DE⊥AB，过N作NF⊥AB，则BE＝CD＝8，AE＝12＝8＝4，

∴Rt△ADE中，DE＝

∵NF∥DE，

∴，即

∴NF＝3 ，AF＝3，

∴FM＝9﹣3＝6，

∴Rt△MNF中，MN＝

故答案为3 ；

（2）∵四边形中ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AD＝CD＝8cm，AB＝12cm，

而BC＝4 ，则梯形ABCD的面积＝

①当0≤t≤4时，如图，则BM＝12﹣3t，CN＝2t，

∴梯形BCNM的面积＝

∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分，

∴

∴t＝2．      

②当4＜t≤8时，如图，则AM＝24﹣3t，AN＝16﹣2t，

∴△AMN的面积＝

∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分，

∴

∴

又∵4＜t≤8，

∴

综上所述：或t＝2或8

 （3）①当0≤t≤4时，如图，则AM＝3t，CN＝2t．

∵AB∥CD，

∴不存在符合条件的t值．

②当4＜t≤8时，如图，分别延长CD、MN交于点Q．

则AM＝24﹣3t，AN＝16﹣2t，DN＝2t﹣8．

∵AB∥CD，

∴，即

解得DQ＝3（t﹣4），

∴CQ＝3t﹣4．

∵AB∥CD，

∴，即

解得t＝ ，

综上可知：存在实数t＝使得AP：PC＝1：2成立．