如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，

求证：（1）．

（2）在△ABC中，记tanB＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．

①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；

②如图（3），m＝，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED＝2AC，若CD＝3，BC＝4，直接写出△BED的面积．

答案

【解析】（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥ED，

∴∠B＝∠C＝∠AED＝90°，

∴∠A+∠AEB＝∠AEB+∠DEC＝90°，

∴∠A＝∠DEC，

∴△ABE∽△ECD，

∴；

（2）如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，

∵tanB＝m＝2＝，

∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM，

∴BE＝，

∵AF⊥EC，AM⊥CD，

∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，

∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°，

∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，

∴，

∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，

∵AM＝2HC，AM＝2BM，

∴HC＝BM，

∴HC﹣HM＝BM﹣HM，

∴BH＝MC＝x，

∴DC＝DM+MC＝5x，

∴；

（3）如图，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FM⊥BC于点M，

∵tanB＝m＝，

∴∠B＝30°，

∵∠BCF＝∠B＝30°，

∴BF＝FC，且FM⊥BC，BC＝4，

∴BM＝MC＝2，且∠B＝30°，FM⊥BC，

∴FM＝2，BF＝FC＝4，

∵CD＝3，BC＝4，

∴BD＝7.

又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，

∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，

∵∠BCA＝∠BDE+∠CHD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，

∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEH＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，

∴∠ACF＝∠AEH，且∠G＝∠AFC＝60°，

∴△GED∽△FCA，

∴，且DE＝2AC，

∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，

∴AF＝，

∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6，

∵S_△BGD＝×BD×GD＝，

∴S_△BED＝.