已知关于x的一元二次方程x²﹣（2k+1）x+k²+2k＝0有两个实数根x₁，x₂．

（1）求实数k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

答案

【解析】（1）根据判别式的意义得到△＝（2k+1）²﹣4（k²+2k）≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂＝2k+1，x₁x₂＝k²+2k，再把x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16变形为﹣（x₁+x₂）²+3x₁•x₂＝﹣16，所以﹣（2k+1）²+3（k²+2k）＝﹣16，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值．

解：（1）根据题意得△＝（2k+1）²﹣4（k²+2k）≥0，解得k≤；

（2）根据题意得x₁+x₂＝2k+1，x₁x₂＝k²+2k，

∵x₁x₂﹣x₁²﹣x₂²＝﹣16．∴x₁x₂﹣[（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂]＝﹣16，

即﹣（x₁+x₂）²+3x₁•x₂＝﹣16，∴﹣（2k+1）²+3（k²+2k）＝﹣16，

整理得k²﹣2k﹣15＝0，

解得k₁＝5（舍去），k₂＝﹣3． ∴k＝﹣3．