如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(n≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点与x轴交于点C,点B坐标为(m,﹣1),AD⊥x轴,且AD=3,tan∠AOD=
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OB,求S△AOC﹣S△BOC的值;
(3)点E是x轴上一点,且△AOE是等腰三角形请直接写出满足条件的E点的个数(写出个数即可,不必求出E点坐标).
【解析】解:(1)∵AD⊥x轴,∴∠ADO=90°,
在Rt△ADO中,AD=3,tan∠AOD==,∴OD=2,∴A(﹣2,3),
∵点A在反比例函数y=的图象上,∴n=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣,
∵点B(m,﹣1)在反比例函数y=﹣的图象上,∴﹣m=﹣6,∴m=6,∴B(6,﹣1),
将点A(﹣2,3),B(6,﹣1)代入直线y=kx+b中,得,∴,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;
(2)由(1)知,A(﹣2,3),直线AB的解析式为y=﹣x+2,
令y=0,∴﹣x+2=0,∴x=4,∴C(4,0),
∴S△AOC﹣S△BOC=OC•|yA|﹣OC•|yB|=×4(3﹣1)=4;
(3)设E(m,0),由(1)知,A(﹣2,3),
∴OA2=13,OE2=m2,AE2=(m+2)2+9,
∵△AOE是等腰三角形,
∴①当OA=OE时,∴13=m2,∴m=±,∴E(﹣,0)或(,0),
②当OA=AE时,13=(m+2)2+9,∴m=0(舍)或m=4,∴E(4,0),
③当OE=AE时,m2=(m+2)2+9,∴m=﹣,∴E(﹣,0),
即:满足条件的点P有四个.
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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