综合与探究

如图1 ,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线交y轴于点E(0,2).

(1)求A,B,C三点的坐标及直线BE的解析式.

(2)如图2,过点A作BE的平行线交抛物线于点D,点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA,PD,求面积的最大值.

(3)若(2)中的点P为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

答案

[考点]解一元二次方程,一次函数解析式的确定,解二元一次方程组,二次函数的性质，三角形面积的计算,解一元一次方程,平行四边形的判定与性质,分类讨论思想

[解析] (1) 对于抛物线的解析式,令y =0,可求点A,B的坐标,令x =0可求点C的坐标，由点B,E的坐标可求出直线BE的解析式.

(2)先求出直线AD的解析式，联立直线AD及抛物线的解析式组成方程组,通过解方程组求出点D的坐标.过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G,设出点P的坐标,表示出PN的长,进而表示出△APD的面积,利用二次函数的性质可求解.

(3)根据AD为边或对角线，分情况画出图形，根据平行四边形的性质及坐标关系求解.

解:(1)当y =0时，,解得x₁= 4,x₂ =-1.

点A在点B的左侧，

A(- 1,0),B(4,0).

当x =0时,y =-2,

C(0,-2).     （2分）

设直线BE的解析式为y=k x +b.

把B(4,0),E(0,2)分别代入,得

解得

直线BE的解析式为.(3分)

(2)由题意可设直线AD的解析式为.

把A(-1,0)代入,得,

解得

直线AD的解析式为    (4分)

由

得

点D的坐标为(3,-2). ........ (5分)

如解图1,过点P作PF⊥x轴于点F,交AD于点N,过点D作DG⊥x轴于点G.

 解图1                  解图2

(6分)

设P()则N()(7分)

 （8分）

当a=1时,△APD的面积最大，最大面积为4.  (9分)

(3)存在.点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或或(13分)

[提示]如解图2,当四边形AQPD或四边形QAPD是平行四边形时,PD//AQ,则点P的纵坐标为-2.由点P在抛物线上,得,解得x =0或x=3.此时点P与点C重合,PD=3.则点Q的坐标为(2,0)或(-4,0).

当四边形PADQ是平行四边形时，可得点P的纵坐标为2.由点P在抛物线上,得

,解得或.此时点Q的坐标为

或.综上,符合条件的点Q的坐标为(2,0)或(-4,0)或或