在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是边AD上一点,EM⊥EC交AB于点M,点N在射线MB上,且AE是AM和AN的比例中项.
(1)如图8,求证:∠ANE=∠DCE;
(2)如图9,当点N在线段MB之间,联结AC,且AC与NE互相垂直,求MN的长;
(3)联结AC,如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似,求DE的长.
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图8 图9 图10
(1)证明:∵
是
和
的比例中项
∴ ……………………1分
∵∴△
∽△
∴……………………1分
∵∴
∵∴
∴……………………1分
∴ ………1分
(2)解:∵与
互相垂直∴
∵ ∴
∴ 由(1)得
∴ ∴
∴ ……………………1分
∵
,
, ∴
∴……………………1分
由(1)得
∴ ∴
∴ ……………………1分
∵ ∴
……………………1分
∴
……………………1分
(3)∵,
又,由(1)得
∴ …………………………1分
当△与以点
、
、
为顶点所组成的三角形相似时
1),如图9
∴
由(2)得: ……………………2分
2),如图10
过点作
,垂足为点
由(1)得 ∴
∴又
设,则
,
,
又 ∴
,解得
∴ ……………………2分
综上所述,的长分别为
或
.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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