如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．

（1）求∠P的度数及点P的坐标；

（2）求△OCD的面积；

（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．

答案

【解答】解：（1）如图，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．

∴∠PMA＝∠PHA＝90°，

∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，

∴△PAM≌△PAH（AAS），

∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，

同理可证：△BPN≌△BPH，

∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，

∴PM＝PN，

∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，

∵PM＝PN，

∴可以假设P（m，m），

∵P（m，m）在y＝上，

∴m²＝9，

∵m＞0，

∴m＝3，

∴P（3，3）．

（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，

∴AB＝6﹣a﹣b，

∵AB²＝OA²+OB²，

∴a²+b²＝（6﹣a﹣b）²，

可得ab＝18﹣6a﹣6b，

∴9﹣3a﹣3b＝ab，

∵PM∥OC，

∴＝，

∴＝，

∴OC＝，同法可得OD＝，

∴S_△COD＝•OC•DO＝＝＝＝6．

（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，

∴AB＝6﹣a﹣b，

∴OA+OB+AB＝6，

∴a+b+＝6，

∴2+≤6，

∴（2+）≤6，

∴≤3（2﹣），

∴ab≤54﹣36，

∴S_△AOB＝ab≤27﹣18，

∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．