如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

【解答】解：

（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）²+3

将点B代入得0＝a（5﹣1）²+3，得a＝﹣

∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）²+3

（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b

代入得，解得

∴线段BD所在的直线为y＝x+，

设点E的坐标为：（x，x+）

∴ED²＝（x﹣1）²+（﹣x+﹣3）2

EF＝

∵ED＝EF

∴（x﹣1）²+（﹣x+﹣3）²＝

整理得2x²+5x﹣25＝0

解得x₁＝，x₂＝﹣5（舍去）

故点E的纵坐标为y＝＝

∴点E的坐标为

（3）存在点G，

设点G的坐标为（x，t）

∵点B的坐标为（5，0），对称轴x＝1

∴点A的坐标为（﹣3，0）

∴设AD所在的直线解析式为y＝kx+b

代入得，解得

∴直线AD的解析式为y＝

∴AD的距离为5

点G到AD的距离为：d₁＝＝

由（2）知直线BD的解析式为：y＝x+，

∴BD的距离为5

∴同理得点G至BD的距离为：d₂＝＝

∴＝＝＝

整理得5x﹣32t+90＝0

∵点G在二次函数上，

∴t＝

代入得5x﹣32[﹣（x﹣1）²+3]+90＝0

整理得6x²﹣7x＝0⇒x（6x﹣7）＝0

解得x₁＝0，x₂＝

此时点G的坐标为（0，）或（，）

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．