在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x﹣1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)均在直线l上.
(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;
(2)当a=﹣1,二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为﹣4,求m的值;
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.
【解答】解:(1)点A(﹣3,﹣3),B(1,﹣1)代入y=kx+b,
∴,
∴,
∴y=x﹣;
联立y=ax2+2x﹣1与y=x﹣,则有2ax2+3x+1=0,
∵抛物线C与直线l有交点,
∴△=9﹣8a≥0,
∴a≤且a≠0;
(2)根据题意可得,y=﹣x2+2x﹣1,
∵a<0,
∴抛物线开口向下,对称轴x=1,
∵m≤x≤m+2时,y有最大值﹣4,
∴当y=﹣4时,有﹣x2+2x﹣1=﹣4,
∴x=﹣1或x=3,
①在x=1左侧,y随x的增大而增大,
∴x=m+2=﹣1时,y有最大值﹣4,
∴m=﹣3;
②在对称轴x=1右侧,y随x最大而减小,
∴x=m=3时,y有最大值﹣4;
综上所述:m=﹣3或m=3;
(3)①a<0时,x=1时,y≤﹣1,
即a≤﹣2;
②a>0时,x=﹣3时,y≥﹣3,
即a≥,
直线AB的解析式为y=x﹣,
抛物线与直线联立:ax2+2x﹣1=x﹣,
∴ax2+x+=0,
△=﹣2a>0,
∴a<,
∴a的取值范围为≤a<或a≤﹣2;