．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．

（1）请直接写出点C的坐标及k的值；

（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．

答案

【解答】解：（1）过C点作CH⊥x轴于H，如图，

∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，

∴BA＝BC，∠ABC＝90°，

∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠CBH，

在△ABO和△BCH中，

∴△ABO≌△BCH（AAS），

∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，

∴C（4，1），

∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝4×1＝4；

（2）过O作OP∥BC交y＝的图象于点P，过P作PG⊥x轴于G，

∵∠POG＝∠OAB，

∵∠AOB＝∠PGO，

∴△OAB∽△OHP，

∴PG：OG＝OB：OA＝1：3，

∵点P在y＝上，

∴3y_P•y_P＝4，

∴y_P＝，

∴点P的坐标为（2，）；

（3）∵Q（0，m），

∴OQ＝m，

∵OM∥x轴，与图象G交于点M，与直线OP交于点N，

∴M（，m），N（3m，m），

∵点M在点N左侧，

∴＜3m，

∵m＞0，

∴m＞．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解题的关键．