如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x

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  • 难度: 使用次数:40 入库时间:2018-08-27

    如图,抛物线y=x2+bx+c和直线y=x+1交于AB两点,点Ax轴上,点B在直线x=3上,直线x=3x轴交于点C

    1)求抛物线的解析式;

    2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点PQ同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.

    ①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;

    ②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.

    答案


    【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3

    ABy=x+1

    A(﹣10),B34

    A(﹣10),B34)代入y=x2+bx+c

    解得

    ∴抛物线解析式为y=x2+3x+4

    2)①过点PPEx轴于点E

    ∵直线y=x+1x轴夹角为45°P点速度为每秒个单位长度

    t秒时点E坐标为(﹣1+t0),Q点坐标为(32t0

    EQ=43tPE=t

    ∵∠PQE+NQC=90°

    PQE+EPQ=90°

    ∴∠EPQ=NQC

    ∴△PQE∽△QNC

    ∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2

    PQ2=PE2+EQ2

    S=22=20t236t+18

    t=时,

    S最小=20×(236×+18=

    ②由①点C坐标为(32t0P(﹣1+tt

    ∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QO=86t

    N点坐标为(386t

    由矩形对角线互相平分

    ∴点M坐标为(3t185t

    M在抛物线上时

    85t=﹣(3t12+33t1+4

    解得t=

    当点QA时,Q在抛物线上,此时t=2

    N在抛物线上时,86t=4

    t=

    综上所述当t=2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上.


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