如图，抛物线y=﹣x²+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

答案

【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3

∵A、B在y=x+1上

∴A（﹣1，0），B（3，4）

把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x²+bx+c得

解得

∴抛物线解析式为y=﹣x²+3x+4

（2）①过点P作PE⊥x轴于点E

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度

∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）

∴EQ=4﹣3t，PE=t

∵∠PQE+∠NQC=90°

∠PQE+∠EPQ=90°

∴∠EPQ=∠NQC

∴△PQE∽△QNC

∴

∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ²

∵PQ²⁼PE²+EQ²

∴S=2（）²=20t²﹣36t+18

当t=时，

S_最小=20×（）²﹣36×+18=

②由①点C坐标为（3﹣2t，0）P（﹣1+t，t）

∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t

∴N点坐标为（3，8﹣6t）

由矩形对角线互相平分

∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）

当M在抛物线上时

8﹣5t=﹣（3t﹣1）²+3（3t﹣1）+4

解得t=

当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2

当N在抛物线上时，8﹣6t=4

∴t=

综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．