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  • 难度: 使用次数:1 入库时间:2018-08-04

    .如图,在四边形ABCD中,B=60°D=30°AB=BC

    1)求A+C的度数。   

    2)连接BD,探究ADBDCD三者之间的数量关系,并说明理由。   

    3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足 ,求点E运动路径的长度。   

    答案


    1)解:在四边形ABCD中,B=60°D=30°
    ∴∠A+C=360°-B-C=360°-60°-30°=270°
    2)解:如图,将BCD绕点B逆时针旋转60°,得到BAQ,连接DQ

    BD=BQDBQ=60°
    ∴△BDQ是等边三角形,
    BD=DQ
    ∵∠BAD+C=270°
    ∴∠BAD+BAQ=270°
    ∴∠DAQ=360°-270°=90°
    ∴△DAQ是直角三角形
    AD2+AQ2=DQ2 
    AD2+CD2=BD2
    3)解:如图,将BCE绕点B逆时针旋转60°,得到BAF,连接EF

    BE=BFEBF=60°
    ∴△BEF是等边三角形,
    EF=BEBFE=60°
    AE2=BE2+CE2
    AE2=EF2+AF2
    ∴∠AFE=90°
    ∴∠BFA=BFE+AFE=60°+90°=150°
    ∴∠BEC=150°
    则动点E在四边形ABCD内部运动,满足BEC=150°,以BC为边向外作等边OBC
    则点E是以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC
    OB=AB=1
    BC= =

    【考点】等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,多边形内角与外角,弧长的计算,旋转的性质  

    【解析】【分析】(1)根据四边形内角和为360度,结合已知条件即可求出答案.
    2)将BCD绕点B逆时针旋转60°,得到BAQ,连接DQ(如图),由旋转性质和等边三角形判定得BDQ是等边三角形,由旋转性质根据角的计算可得DAQ是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2  , 即AD2+CD2=BD2.
    3)将BCE绕点B逆时针旋转60°,得到BAF,连接EF(如图),由等边三角形判定得BEF是等边三角形,结合已知条件和等边三角形性质可得AE2=EF2+AF2  , 即AFE=90°,从而得出BFA=BEC=150°,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC,根据弧长公式即可得出答案.


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