.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.
(1)求∠A+∠C的度数。
(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由。
(3)若AB=1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足 ,求点E运动路径的长度。
(1)解:在四边形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,
∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°。
(2)解:如图,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ,
∵BD=BQ,∠DBQ=60°,
∴△BDQ是等边三角形,
∴BD=DQ,
∵∠BAD+∠C=270°,
∴∠BAD+∠BAQ=270°,
∴∠DAQ=360°-270°=90°,
∴△DAQ是直角三角形
∴AD2+AQ2=DQ2 ,
即AD2+CD2=BD2
(3)解:如图,将△BCE绕点B逆时针旋转60°,得到△BAF,连接EF,
∵BE=BF,∠EBF=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴EF=BE,∠BFE=60°,
∵AE2=BE2+CE2
∴AE2=EF2+AF2
∴∠AFE=90°
∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°,
∴∠BEC=150°,
则动点E在四边形ABCD内部运动,满足∠BEC=150°,以BC为边向外作等边△OBC,
则点E是以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC,
∵OB=AB=1,
则BC= =
【考点】等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理,多边形内角与外角,弧长的计算,旋转的性质
【解析】【分析】(1)根据四边形内角和为360度,结合已知条件即可求出答案.
(2)将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAQ,连接DQ(如图),由旋转性质和等边三角形判定得△BDQ是等边三角形,由旋转性质根据角的计算可得△DAQ是直角三角形,根据勾股定理得AD2+AQ2=DQ2 , 即AD2+CD2=BD2.
(3)将△BCE绕点B逆时针旋转60°,得到△BAF,连接EF(如图),由等边三角形判定得△BEF是等边三角形,结合已知条件和等边三角形性质可得AE2=EF2+AF2 , 即∠AFE=90°,从而得出∠BFA=∠BEC=150°,从而得出点E是在以O为圆心,OB为半径的圆周上运动,运动轨迹为BC,根据弧长公式即可得出答案.