如图，已知二次函数y=ax²+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数y=ax²+2x+c的表达式；

（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

答案

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

，

解得，

二次函数的解析是为y=﹣x²+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，

如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），

∴E（0，），

∴点P的纵坐标，

当y=时，即﹣x²+2x+3=，

解得x₁=，x₂=（不合题意，舍），

∴点P的坐标为（，）；

（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m²+2m+3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

，

解得．

直线BC的解析为y=﹣x+3，

设点Q的坐标为（m，﹣m+3），

PQ=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m．

当y=0时，﹣x²+2x+3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

OA=1，

AB=3﹣（﹣1）=4，

S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PCQ+S_△PBQ

=AB•OC+PQ•OF+PQ•FB

=×4×3+（﹣m²+3m）×3

=﹣（m﹣）²+，

当m=时，四边形ABPC的面积最大．

当m=时，﹣m²+2m+3=，即P点的坐标为（，）．

当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．