如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B

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  • 难度: 使用次数:23 入库时间:2018-07-09

    如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A,点B(3,0).点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

    (1)求二次函数y=ax2+2x+c的表达式;

    (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折,得到四边形POP′C.若四边形POP′C为菱形,请求出此时点P的坐标;

    (3)当点P运动到什么位置时,四边形ACPB的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

    答案


    【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;

    (2)根据菱形的对角线互相垂直且平分,可得P点的纵坐标,根据自变量与函数值的对应关系,可得P点坐标;

    (3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PQ的长,根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.

    【解答】解:(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式,得

    解得

    二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3;

    (2)若四边形POP′C为菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上,

    如图1,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,

    ∵C(0,3),

    ∴E(0,),

    ∴点P的纵坐标

    当y=时,即﹣x2+2x+3=

    解得x1=,x2=(不合题意,舍),

    ∴点P的坐标为();

    (3)如图2,

    P在抛物线上,设P(m,﹣m2+2m+3),

    设直线BC的解析式为y=kx+b,

    将点B和点C的坐标代入函数解析式,得

    解得

    直线BC的解析为y=﹣x+3,

    设点Q的坐标为(m,﹣m+3),

    PQ=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m.

    当y=0时,﹣x2+2x+3=0,

    解得x1=﹣1,x2=3,

    OA=1,

    AB=3﹣(﹣1)=4,

    S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

    =AB•OC+PQ•OF+PQ•FB

    =×4×3+(﹣m2+3m)×3

    =﹣(m﹣2+

    当m=时,四边形ABPC的面积最大.

    当m=时,﹣m2+2m+3=,即P点的坐标为().

    当点P的坐标为()时,四边形ACPB的最大面积值为

    【点评】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法;解(2)的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标,又利用了自变量与函数值的对应关系;解(3)的关键是利用面积的和差得出二次函数,又利用了二次函数的性质.

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