如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线．   

（2）若 ，求∠E的度数．   

（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD= ，求AD的长．   

答案

（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC=CG，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴ ，
∴ ，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC= OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD= EBD=30°，
∵CD= ，
∴BD=3，DE=3 ，BE=6，
∴AE= BE=2，
∴AH=1，
∴EH= ，
∴DH=2 ，
在R_t△DAH中，AD= = = ．                   
【考点】平行线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质               
【解析】【分析】（1）连接OC，AC，CG，由圆周角定理，得出∠ABC=∠CBG，再根据同圆的半径相等机等量代换求得∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，由已知CD⊥BG，得出OC⊥CD，即可证得结论。
（2）由OC∥BD，得出△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得出对应边成比例，再根据直角三角形的性质，可求出∠E的度数。
（3）过A作AH⊥DE于H，通过解直角三角形求出BD、BE、DE的长，在R_t△DAH中，根据勾股定理求出AD的长。