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九上 第二十二章 二次函数
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二次函数与一元二次方程
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使用次数:58
更新时间:2021-04-29
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1.

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为Bx1,0),Cx2,0),且x2x1=4,直线ADx轴,在x轴上有一动点Et,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为PQ

(1)求抛物线的解析式;

(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;

(3)当t>2时,是否存在点P,使以APQ为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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题型:综合题
知识点:二次函数与一元二次方程
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【答案】

解:(1)由题意知x1x2是方程mx28mx+4m+2=0的两根,

x1+x2=8, 由    解得:

B20)、C60   4m16m+4m+2=0  解得:m=

该抛物线解析式为:y=…………(2分)

2)可求得A03  设直线AC的解析式为:y=kx+b

   ∴    ∴直线AC的解析式为:y=x+3

要构成APC,显然t≠6,分两种情况讨论:

0t6时,设直线lAC交点为F,则:Ft,﹣),

Pt),PF=   

SAPC=SAPF+SCPF

=

==   此时最大值为:…………(5分)

6≤t≤8时,设直线lAC交点为M,则:Mt,﹣),

Pt),PM=

SAPC=SAPFSCPF=

==    t=8时,取最大值,最大值为:12

综上可知,当0t≤8时,APC面积的最大值为12…………(8分)

3

t=t=t=14…………(11

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 一元二次方程根的判别式 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 一元二次方程根的判别式的定义
根的判别式:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。

根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。
◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac。
定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△>0方程有两个不等实数根;
定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△=0方程有两个相等实数根;
定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中,△<0方程没有实数根。
2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。
定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根△>0;
定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根△=0;
定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根△<0。
注意:(1)再次强调:根的判别式是指△=b2-4ac。
(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
◎ 一元二次方程根的判别式的特性
根的判别式有以下应用:
①不解一元二次方程,判断根的情况。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线(△>0)与x轴两交点间的距离的问题。
◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标
1、能用b2-4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式b2-4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中,体会严密的思维过程。
◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求
能力要求:掌握
课时要求:80
考试频率:常考
分值比重:4

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