如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x₁，0），C（x₂，0），且x₂﹣x₁=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

答案

）

解：（1）由题意知x₁、x₂是方程mx²﹣8mx+4m+2=0的两根，

∴x₁+x₂=8， 由    解得：

∴B（2，0）、C（6，0）   则4m﹣16m+4m+2=0，  解得：m=，

∴该抛物线解析式为：y=；…………（2分）

（2）可求得A（0，3）  设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵   ∴    ∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：

①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，   

∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF

=

==，   此时最大值为：，…………（5分）

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），

∵P（t，），∴PM=，

∴S_△APC=S_△APF﹣S_△CPF=

==，    当t=8时，取最大值，最大值为：12，

综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；…………（8分）

（3）

∴t=或t=或t=14．…………（11分）