如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.
(1)若AB∥x轴,求t的值;
(2)当t=3时,坐标平面内有一点M,使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标;
(3)设点A关于x轴的对称点为,连接
,
在点P运动的过程中,∠的度数是否会发生变化,
若不变,请求出∠的度数,若改变,请说明理由。
解:(1)过点B作BC⊥x轴于点C,如图1所示.
∵AO⊥x轴,BC⊥x轴,且AB∥x轴,
∴四边形ABCO为长方形,
∴AO=BC=4.
∵△APB为等腰直角三角形,
∴AP=BP,∠PAB=∠PBA=45°,
∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°,
∴△AOP为等腰直角三角形,
∴OA=OP=4.
t=4÷1=4(秒),
故t的值为4. ------------------------4分
(2)
点M的坐标为(4,7), (6,-4), (10,-1), (0,4)-----------------------8分
(3)答:∠=45° ------------------------10分
∵△APB为等腰直角三角形,
∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°.
又∵∠PAO+∠APO=90°,
∴∠PAO=∠BPC.
在△PAO和△BPC中,,
∴△PAO≌△BPC,
∴AO=PC,BC=PO.
∵点A(0,4),点P(t,0)
∴PC=AO=4,BC=PO=t,CO=PC+PO=4+ t
∴点B(4+t,t) ------------------------12分
∴点B在直线y=x﹣4上
又∵点A关于x轴的对称点为(0,-4)也在直线y=x﹣4上,
∴∠=45° -