如图，已知抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；

（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．

答案

【考点】二次函数综合题．

【专题】代数几何综合题；压轴题．

【分析】（1）依据抛物线的解析式直接求得C的坐标，令y=0解方程即可求得A、B点的坐标；

（2）求出△BCM面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出△BPN的周长；

（3）如解答图，△CNQ为直角三角形，分三种情况：①点Q为直角顶点；②点N为直角顶点；③点C为直角顶点进行解答．

【解答】解：（1）由抛物线的解析式y=﹣x²+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x²+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3．

设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x²+2x+3），

∴PM=（﹣x²+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x²+3x．

∴S_△BCM=S_△PMC+S_△PMB=PM•（x_P﹣x_C）+PM•（x_B﹣x_P）=PM•（x_B﹣x_C）=PM．

∴S_△BCM=（﹣x²+3x）=﹣（x﹣）²+．

∴当x=时，△BCM的面积最大．

此时P（，），∴PN=ON=，

∴BN=OB﹣ON=3﹣=．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=．

C_△BCN=BN+PN+PB=3+．

∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+．

（3）∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON=，由勾股定理得：CN=．

设点D为CN中点，则D（，），CD=ND=．

如解答图，△CNQ为直角三角形，

①若点Q为直角顶点．

作Rt△CNO的外接圆⊙D，与对称轴交于Q₁、Q₂两点，由圆周角定理可知，Q₁、Q₂两点符合题意．

连接Q₁D，则Q₁D=CD=ND=．

过点D（，）作对称轴的垂线，垂足为E，

则E（1，），Q₁E=Q₂E，DE=1﹣=．

在Rt△Q₁DE中，由勾股定理得：

Q₁E==．

∴Q₁（1，），Q₂（1，）；

②若点N为直角顶点．

过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q₃，交y轴于点F．

易证Rt△NFO∽Rt△CNO，则=，即，解得OF=．

∴F（0，﹣），又∵N（，0），

∴可求得直线FN的解析式为：y=x﹣．

当x=1时，y=﹣，

∴Q₃（1，﹣）；

③当点C为直角顶点时．

过点C作Q₄C⊥CN，交对称轴于点Q₄．

∵Q₄C∥FN，∴可设直线Q₄C的解析式为：y=x+b，

∵点C（0，3）在该直线上，∴b=3．

∴直线Q₄C的解析式为：y=x+3，

当x=1时，y=，

∴Q₄（1，）．

综上所述，满足条件的点Q有4个，

其坐标分别为：Q₁（1，），Q₂（1，），Q₃（1，﹣），Q₄（1，）．

【点评】本题是二次函数综合题，难度较大．解题过程中有若干解题技巧需要认真掌握：

①第（2）问中求△BCM面积表达式的方法；

②第（3）问中确定点Q的方法；

③第（3）问中求点Q坐标的方法．