如图1,抛物线y=﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标;
(2)连接CD,点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合),过P作PE∥x轴交直线AC于点E,作PF∥CD交直线AC于点F,当线段PE+PF取最大值时,在抛物线对称轴上找一点L,在y轴上找一点K,连接OL,LK,PK,求线段OL+LK+PK的最小值,并求出此时点L的坐标.
(3)如图2,点M(﹣2,﹣1)为抛物线对称轴上一点,点N(2,7)为直线AC上一点,点G为直线AC与抛物线对称轴的交点,连接MN,AM.点H是线段MN上的一个动点,连接GH,将△MGH沿GH翻折得到△M′GH(点M的对称点为M′),问是否存在点H,使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形,若存在,请求出NH的长,若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)令y=0,则﹣x2﹣4x+5=0,解得x=﹣5或1,
∴A(﹣5,0),B(1,0),
令x=0,则y=5,
∴C(0,5),
设直线AC解析式为y=kx+b,则有,解得,
∴直线AC解析式为y=x+5.
∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣(x+2)2+9,
∴顶点D坐标(﹣2,9).
(2)(方法一)如图1中,连接PC、PA,作PT⊥AC于T.
∵点P在运动过程中,∠PEF,∠PFE是不变的,
∴当高PT最大时,PE、PF最大,即PE+PF最大,此时△PAC的面积最大,设P(m,﹣m2﹣4m+5),
∵S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△AOC=×5×(﹣m2﹣4m+5)+×5×(﹣m)﹣×5×5=﹣m2﹣m=﹣(m+)2+,
∵﹣<0,
∴m=﹣时,△PAC面积最大,此时P(﹣,),
方法二,设对称轴交AC于H,作PG∥y轴交AC于G.
∵A(﹣5,0),C(0,5),
∴直线AC的解析式为y=x+5,
设P(m,﹣m2﹣4m+5),则G(m,m+5),易知PG=PE=﹣m2﹣4m+5﹣m﹣5=﹣m2﹣5m,
∵CD==2,DH=6,
由△PFG∽△DCH,得=,即=,
∴PF=﹣m2﹣m,
∴PE+PF=﹣(1+)m2﹣(5+)m,
∵﹣(1+)<0,
∴m=﹣=﹣时,PE+PF的值最大.此时P(﹣,),
作点O关于对称轴的对称点O′,O′关于y轴的对称点O″,连接PO″交y轴于K,连接O′K交对称轴于L.此时OL+LK+PK最短.
理由:∵LO=LO′,KO′=KO″,
∴LO+LK+PK=(LO′+KL)+PL=KO′+PK=KO″+PK=PO″,
∴LO+LK+PK最短.(两点之间线段最短),此时最小值==.
∵O″(4,0),
∴可得直线PO″的解析式为y=﹣x+,
∴点K坐标(0,),∵O′(﹣4,0),
∴直线O′K解析式为:y=x+,
∵x=﹣2时,y=,
∴点L坐标(﹣2,).
(3)存在.
①如图2中,重叠部分是△GHT,当∠GHT=90°时,
∵M(﹣2,﹣1),N(2,7),
∴可得直线MN的解析式为y=2x+3,
∵G(﹣2,),GH⊥MN,
∴可得直线GH的解析式为y=﹣x+,
由解得,
∴点H坐标(﹣,),
∴NH==.
②如图3中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作HE⊥GM于E.
∵∠HGT=∠HGE,HT⊥GT,HE⊥GE,
∴HT=HE,设HT=HE=x,
由①可知,GT=GE==,TM=,MN=4,
由△MEH∽△MTG,得到, =,
∴=,
∴MH=﹣,
∴HN=MN﹣MH=+.
③如图4中,重叠部分是△GHT,当∠GTH=90°时,作GF⊥MN于F.
由②可知,GF=GT=,FN=,GN==,
由△NTH∽△NFG得=,
∴=,
∴NH=﹣.
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