已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CD,CG⊥AD于点H,交AB于点G,E为AB上一点,连接CE交AD于点F.
(1)如图1,若CE⊥AB于点E,HG=1,CH=5,求CF的长;
(2)如图2,若AC=AE,∠GEH=∠ECH,求证:CE=HE;
(3)如图3,若E为AB的中点,作A关于CE的对称点A′,连接CA′,EA′,DA′,请直接写出∠CEH,∠A′CD,∠EA′D之间的等量关系.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CA=CD,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴∠CAD=∠CDA=45°,
∵CG⊥AD,
∴∠CHF=∠AHG=90°,∠ACH=∠DCH=∠ACB=×90°=45°,AH=DH=CH=5,
∴∠GAH+∠AGC=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠CEG=90°,
∴∠GCE+∠AGC=90°,
∴∠GCE=∠GAH,
在△CHF与△AHG中,,
∴△CHF≌△AHG,
∴HF=HG=1,
∴CF===;
(2)如图2,过H作MH⊥EH,交CE于M,连接AM,
∵AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE,
∵∠GEH=∠ECG,
∵MH⊥EH,
∴△EHM为等腰直角三角形,∠EHM=90°,
∴EH=MH,EM=HE,
∴∠AHM=∠AHC+∠CHM=90°+∠CHM=∠EHM+∠CHM=∠CHE,
在△AHM与△CHE中,,
∴△AHM≌△CHE,
∴∠MAF=∠ECH,
∴∠MAF+∠AFC=∠ECH+∠AFC=180°,
∴∠CHD=180°﹣90°,
∴AM⊥CE,
∵AC=AE,
∴△ACE是等腰三角形,
∴CM=EM=HE,
∴CE=2EM=2HE;
(3)∵H为AD的中点,E我AB的中点,
∴EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BC,
∴∠CEH=∠BCE,
∴∠ACE=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE=90°﹣∠CEH,
∵EC=AE,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∴∠CAE=∠ACE=90°﹣∠CEH,
∵A关于CE的对称点A′,
∴∠CA′E=∠CAE=90°﹣∠CEH,CA=CA′,
∵CA=CD,
∴CA′=CD,
∴∠CDA′=∠CA′D=∠CA′E+∠EA′D=90°﹣∠CEH+∠EA′D,
∵∠A′CD+∠CDA′+∠CA′D=180°,
∴∠A′CD+90°﹣∠CEH+∠EA′D+90°﹣∠CEH+∠EA′D=180°,
化简得:∠A′CD+2∠EA′D=2∠CEH,
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