如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴、y轴交于点C、D两点,点B的横坐标为1,OC=OD,点P
在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求△APB的面积.
【解答】解:(1)过点B作BE⊥OD,垂足为E,则
由BE∥CO,可得△BDE∽△CDO
∵OC=OD
∴BE=DE
又∵点B的横坐标为1,且B在反比例函数的图象上
∴B(1,﹣4),即BE=1,OE=4
∴OD=4﹣1=3=OC,
即C(﹣3,0),D(0,﹣3)
将C、D的坐标代入一次函数y=kx+b(k≠0),可得
,解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3
(2)过点P作y轴的平行线,交直线AB于点F,则S△APB=S△APF+S△PFB
∵点P在反比例函数的图象上,且到x轴、y轴距离相等
∴P(﹣2,2)
在y=﹣x﹣3中,当x=﹣2时,y=﹣1,即F(﹣2,﹣1)
∴PF=2﹣(﹣1)=3
解方程组,可得,
∴A(﹣4,1)
∴△APF中PF边上的高为2,△BPF中PF边上的高为3
∴S△APB=S△APF+S△PFB=×3×2+×3×3=3+4.5=7.5
自变量的取值范围:
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
反比例函数性质:
①反比例函数的表达式中,等号左边是函数值y,等号右边是关于自变量x的分式,分子是不为零的常数k,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中,常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数 (k是常数,k≠0)的自变量x的取值范围是不等式0的任意实数,函数值y的取值范围也是非零实数。
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