若一个正整数,它的各位数字是左右对称的,则称这个数是对称数,如22,797,12321都是对称数.最小的对称数是11,没有最大的对称数,因为数位是无穷的.
(1)有一种产生对称数的方式是:将某些自然数与它的逆序数相加,得出的和再与和的逆序数相加,连续进行下去,便可得到一个对称数.如:17的逆序数为71,17+71=88,88是一个对称数;39的逆序数为93,39+93=132,132的逆序数为231,132+231=363,363是一个对称数.请你根据以上材料,求以687产生的第一个对称数;
(2)若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数,和后两位数所表示的数,请你证明这两个数的差一定能被9整除;
(3)若将一个三位对称数减去其各位数字之和,所得的结果能被11整除,则满足条件的三位对称数共有多少个?
【考点】因式分解的应用.
【分析】(1)模仿例题,即可得出结论.
(2)设四位对称数分解为前两位数所表示的数为:10a+b,和后两位数所表示的数为10b+a,用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题.
(3)设这个三位对称数为:100a+10b+a,由题意100a+10b+a﹣(2a+b)=99a+9b=11(9a+),根据整除的定义,即可解决问题.
【解答】解:(1)678+876=1473,1473+3741=5214,5214+4152=9339,
所以以678产生的第一个对称数是9339.
(2)设四位对称数分解为前两位数所表示的数为:10a+b,
和后两位数所表示的数为10b+a,
由题意(10a+b)﹣(10b+a)=9a﹣9b=9(a﹣b),
∵a、b为整数,
∴(a﹣b)是整数,
∴9(a﹣b)一定能被9整除,
∴这两个数的差一定能被9整除.
(3)设这个三位对称数为:100a+10b+a,
由题意100a+10b+a﹣(2a+b)=99a+9b=11(9a+),
∵所得的结果能被11整除,
∴9a+为整数,
∵a、b为整数,且0≤b≤9,1≤a≤9,
∴为整数,
∴b=0,a有9种可能,
∴满足条件的三位对称数共有9个.
【点评】本题考查因式分解的应用、数字问题等知识,解题的关键是理解题意,学会利用参数解决问题,属于中考创新题目.
因式分解中的四个注意:
①首项有负常提负,
②各项有“公”先提“公”,
③某项提出莫漏1,
④括号里面分到“底”。
现举下例,可供参考。
例:
把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:-a2-b2+2ab+4
=-(a2-2ab+b2-4)
=-[(a-b)2-4]
=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”,指“负号”。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的;
这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式;
这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。
分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
在没有说明化到实数时,一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到实数!
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”等是一脉相承的。
分解步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要相对合适。”
分解因式技巧掌握:
①分解因式是多项式的恒等变形,要求等式左边必须是多项式
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。
主要方法:
1.提取公因式法:
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法基本步骤:
(1)找出公因式
(2)提公因式并确定另一个因式:
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式
③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。
2.公式法:
把乘法公式的平方差公式和完全平方公式反过来,得到因式分解的公式:
平方差公式:a2-b2=(a+b)·(a-b);
完全平方式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
立方差公式:。
3.分组分解法:
利用分组分解因式的方法叫做分组分解法,ac+ad+bc+bd=a·(c+d)+b·(c+d)=(a+b)·(c+d)
其原则:
①连续提取公因式法:分组后每组能够分解因式,每组分解因式后,组与组之间又有公因式可提。
②分组后直接运用公式法:分组后各组内可以直接应用公式,各组分解因式后,使组与组之间构成公式的形式,然后用公式法分解因式。
4.十字相乘法:a2+(p+q)·a+p·q=(a+p)·(a+q)。
5.解方程法:
通过解方程来进行因式分解,如
x2+2x+1=0 ,解,得x1=-1,x2=-1,就得到原式=(x+1)×(x+1)
6.待定系数法:
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例:
分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:
设x -x -5x -6x-4
=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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