如图,AD是△ABC的角平分线, 延长AD交△ABC的外接圆O于点E,过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连结EF、DF．
(1)求证：△AEF∽△FED；
(2) 若AD=6，DE=3, 求EF的长；
(3) 若DF∥BE, 试判断△ABE的形状，并说明理由．
答案
解（1）证明：连结两圆的相交弦CE
在圆O1中，∠EFD=∠DCE，
在圆O中，∠BAE=∠DCE，
∴∠EFD=∠BAE，
又因为AE是∠BAC角平分线，得∠BAE=∠CAE，
∴∠CAE=∠EFD，
∵∠AEF=∠FED，
∴△AEF∽△FED．
（2）∵△AEF∽△FED，
∴
，
∴EF2=AE・DE=(AD+DE) ・DE=27，
∴
．
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，
得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，
∴∠ABE=∠AEC+∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE+∠ACE=1800=180°，
∴∠ABE+∠ACE=1800，
又∠FCE+∠ACE=1800，∴∠FCE=∠ABE ．
∵DF//BE, ∠FDE=∠AEB，，
又∵∠FCE=∠EDF，∴∠AEB =∠ABE ，
∴△ABE为等腰三角形．
