已知:如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间t(s),解答下列各问题:
(1)求△ABC的面积;
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
(3)设四边形APQC的面积为y(cm2),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在,求出t的值;不存在请说明理由.
考点:
等边三角形的性质;一元二次方程的应用;勾股定理..
专题:
动点型.
分析:
(1)过点A作AD⊥BC,求出AD的长,利用三角形的面积公式进行解答即可;
(2)①∠BPQ=90°;②∠BQP=90°.然后在直角三角形BQP中根据BP,BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可.
(3)本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积,即可得出y,t的函数关系式,然后另y等于三角形ABC面积的三分之二,可得出一个关于t的方程,如果方程无解则说明不存在这样的t值,如果方程有解,那么求出的t值即可.
解答:
解:(1)过点A作AD⊥BC,则AD=×BC×AB•sin60°=×3×3×=;
(2)设经过t秒△PBQ是直角三角形,
则AP=tcm,BQ=tcm,
△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,
∴BP=(3﹣t)cm,
△PBQ中,BP=(3﹣t)cm,BQ=tcm,若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
当∠BQP=90°时,BQ=BP,
即t=(3﹣t),t=1(秒),
当∠BPQ=90°时,BP=BQ,
3﹣t=t,t=2(秒),
答:当t=1秒或t=2秒时,△PBQ是直角三角形.
(3)过P作PM⊥BC于M,
△BPM中,sin∠B=,
∴PM=PB•sin∠B=(3﹣t),
∴S△PBQ=BQ•PM=•t•(3﹣t),
∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×(3﹣t)
=t2﹣t+,
∴y与t的关系式为y=t2﹣t+,
假设存在某一时刻t,使得四边形APQC的面积是△ABC面积的,
则S四边形APQC=S△ABC,
∴t2﹣t+=××32×,
∴t2﹣3t+3=0,
∵(﹣3)2﹣4×1×3<0,
∴方程无解,
∴无论t取何值,四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的.
点评:
本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定及三角形的面积公式,根据题意作出辅助线,利用数形结合求解是解答此题的关键.
韦达定理:
一元二次方程根与系数的关系(以下两个公式很重要,经常在考试中运用到)
一般式:ax2+bx+c=0的两个根x1和x2关系:
x1+x2= -b/a
x1·x2=c/a
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