如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F.由已知得

BF=OE=2, OF= =   

∴点B的坐标是( ，2)                         

设直线AB的解析式是y=kx+b，则有    解得

∴直线AB的解析式是y= x+4                      

(2) 如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，

∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD， ∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=60⁰，

∴△ADP是等边三角形，

∴DP=AP=

 如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.

方法（一）

在Rt△BDG中，∠BGD=90⁰, ∠DBG=60⁰.

∴BG=BD•cos60⁰=×=.

DG=BD•sin60⁰=×= .      

∴OH=EG=, DH=

∴点D的坐标为( , )     

方法（二）

易得∠AEB=∠BGD=90⁰，∠ABE=∠BDG， ∴△ABE∽△BDG，                     

∴   而AE=2, BD=OP= ， BE=2, AB=4,则有

 ，解得BG= ，DG=      ∴OH= , DH= 

∴点D的坐标为(, )                       

 (3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD的面积等于 .

设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:

①当t＞0时，如图，BD=OP=t, DG=t,

∴DH=2+t. ∵△OPD的面积等于 ，

∴ ，

解得 ,  ( 舍去) .

∴点P₁的坐标为 (, 0 )

②当＜t≤0时，如图，BD=OP=－t, BG=－t,

∴DH=GF=2－（－t）=2+t.

∵△OPD的面积等于，

∴ ，

解得 , .

∴点P₂的坐标为(, 0)，点P₃的坐标为(, 0).

③当t≤ 时，如图，BD=OP=－t, DG=－t,

∴DH=－t－2.

∵△OPD的面积等于 ，

∴ ，

解得 (舍去),

∴点P₄的坐标为(, 0)

综上所述,点P的坐标分别为P₁ (, 0)、P₂ ( , 0)、P₃ ( , 0) 、

P₄ ( , 0)