一元二次方程的解法

教学目标：

1 、会用直接开平方法解形如 a(x−k) ² = b(a ≠ 0 ， ab ≥ 0) 的方程；

2 、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3 、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

问：怎样解方程 x ² = 9 的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解： 1 、直接开平方，得 x = ± 3

所以原方程的解是 x ₁ = 3 ， x ₂ = −3

2 、原方程可变形为 x ² −9 = 0

方程左边分解因式，得 (x+3)(x−3) = 0

所以 x ＋ 3 = 0 ， x － 3 = 0

原方程的解是 x ₁ = 3 ， x ₂ = −3

教师总结这两种方法各自的特点：

二、例题讲解与练习巩固

3 、练习 一 解下列方程：

（ 1 ）（ x ＋ 2 ） ² － 16 ＝ 0 ； （ 2 ） (x － 1) ² － 18 ＝ 0 ；

（ 3 ） (1 － 3x) ² ＝ 1 ； （ 4 ） (2x ＋ 3) ² － 25 ＝ 0.

本课小结：

1 、对于形如 a(x−k) ² = b(a ≠ 0 ， ab ≥ 0) 的方程，只要把 (x−k) 看作一个整体，就可转化为 x ² = n(n ≥ 0) 的形式用直接开平方法解。

2 、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约 去相同 因式，而应用因式分解法解。

22.2.3 一元二次方程的解法

教学目标：

1 、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2 、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3 ．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为 (x+p) ² = q

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

(1)3−2x ² = 1        (2 )( x+1) ² −6 = 0    (3)(x−2) ² −1 = 0

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

x ² = b(b ≥ 0) 和 (x−a) ² = b(b ≥ 0)

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果 b < 0 ，方程就没有实数解。

请学生说出完全平方公式。 (x+a) ² = x ² +2ax+a ² ， (x−a) ² = x ² −2ax+a ²

二、引入新课

我们知道，形如 x ² −A = 0 的方程，可变形为 x ² = A(A ≥ 0) ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如 x ² +bx+c = 0 的 一 类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

对于上面出现的方程： x ² −70x+600 = 0

思　考

能否经过适当变形，将它们转化为

(        ) ² = a 的形式，应用直接开方法求解？

让学生回答方程应该如何变形才能化成可以用直接开方法求解的形式

原方程化为 x ² −70x ＋ 1225 = 625 ， ( 方程两边同时加上 625)

即 (x−35) ² = 625

三、归　纳

上面，我们把方程 x ² −70x ＋ 1225 = 625 变形为 (x−35) ² = 625 ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数 . 这样，就能应用直接开平方的方法求解 . 这种解一元二次方程的方法叫做配方法

注意到第一步在方程两边同时加上了 一 个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方：

；

；

；

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、练习巩固

①填空：

(1)x ² +6x+(    ) = (    ) ² (2)x ² － 8x ＋ (    ) = (x−    ) ²

(3)x ² ＋ x ＋ (    ) = (x ＋ ) ² ； (4)4x ² － 6x ＋ (    ) = 4(x−    ) ²

②用配方法解方程：

(1)x ² ＋ 8x−2 = 0             (2)x ² −5 x−6 = 0             (3)x ² +7 = −6x

六、试一试

用配方法解方程 x ² ＋ px ＋ q ＝ 0

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

七、讨 论

1 、如何用配方法解下列方程？

4x ² － 12x － 1 ＝ 0

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为 1 时，如何应用配方法？

2 、关键是把当二次项系数不为 1 的一元二次方程转化为二次项系数为 1 的一元二次方程。

先由学生讨论探索， 再教师 板书讲解。

解：（ 1 ）将方程两边同时除以 4 ，得 x ² － 3x － ＝ 0

移项，得 x ² － 3x ＝

配方，得 x ² － 3x+( ) ² ＝ +( ) ²

即 (x ? ) ² ＝

直接开平方，得 x ? ＝ ±

所以 x ＝ ±

所以 x ₁ ＝ ， x ₂ =

本课小结：　让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤： 1 、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为 1 ； 2 、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

22.2 .4 一元二次方程的解法

教学目标：

1 、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2 、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3 、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1 、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2 、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时 , 代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1 、用配方法解下列方程：

(1 )x ² +15 = 10x           (2)3x ² −12x+ = 0

2 、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3 、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数 幂 除法法则

问题 1 ：能否用配方法将一般形式的一元二次方程 ax ² +bx+c = 0(a ≠ 0) 转化呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

因为 a ≠ 0 ，方程两边都除以 a ，得 x ² + x+ = 0

移项，得 x ² + x = −

配方，得 x ² +2x +( ) ² = ( ) ² −

即 (x+ ) ² =

问题 2 ：当 b ² −4ac ≥ 0 ，且 a ≠ 0 时， 大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当 b ² − 4ac ≥ 0 时，因为 a ≠ 0 ，所以 4a ² >0 ，从而 ≥ 0

问题 3 ：在研究问题 1 和问题 2 中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当 b ² − 4ac ≥ 0 时，一般形式的一元二次方程 ax ² +bx+c = 0(a ≠ 0) 的根为 x+ = ± ，即 x =

由以上研究的结果，得到了一元二次方程 ax ² +bx+c = 0(a ≠ 0) 的求根公式： x = (b ² −4ac ≥ 0)

这个公式说明方程的根是由方程的系数 a 、 b 、 c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a 、 b 、 c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当 b ² −4ac<0 时，方程有实数根吗？

三、例题

例 1 、解下列方程：

① 2x ² +x−6 = 0 ； ② x ² +4x = 2 ；

③ 5x ² −4x−12 = 0 ； ④ 4x ² +4x+10 = 1−8x

教学要点：（ 1 ）对于方程②和④，首先要把方程化为一般形式；

②强调确定 a 、 b 、 c 值时，不要把它们的符号弄错；

③先计算 b ² −4ac 的值，再代入公式。

小结 :

根据你学习的体会，小结 一 下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。