反比例函数及其图象

教学设计示例1

反比例函数及其图象

教学目标 ：

1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；

3、渗透数形结合的 数学 思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

4、体会 数学 从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

5、培养学生的观察能力，及 数学 地发现问题，解决问题的能力.

教学重点 ：

结合图象分析总结出反比例函数的性质；

教学难点 ：描点画出反比例函数的图象

教学用具：直尺

教学方法：小组合作、探究式

教学过程 ：

1、从实际引出反比例函数的概念

我们在 小学 学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

即vt=S（S是常数）；

当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）

从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：
（S是常数）
（S是常数）
一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数．

如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积Ｓ是常数时，长a是宽b的反比例函数．

在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织学生进行讨论．下面的例子仅供

2、列表、描点画出反比例函数的图象
例1、画出反比例函数 与 的图象
解：列表

x	-6	-5	-4	-3	1	2	3	4	5	6
	-1	-1.2	-1.5	-2	6	3	2	1.5	1.2	1
	1	1.2	1.5	2	-6	-3	-2	-1.5	-1.2	1

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面 学习 了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的 学习 .

显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）

（1） 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
的讨论与此类似.
抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的 数学 思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.
（2）函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
同样可以推出 的图象的性质.
（3）函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.
函数 的图象性质的讨论与次类似.
4、小结：

本节课我们 学习 了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识. 数学 学习 要求我们要深刻 地理 解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能 数学 地发现问题，并能运用已有的 数学 知识，给以一定的解释.即 数学 是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业      习题13.8   1-4
教学设计示例2

反比例函数及其图像

一、素质 教育 目标

（一）知识教学点

1．使学生了解反比例函数的概念；

2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；

3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；

4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

（二）能力训练点

1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；

2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.

（三）德育渗透点

1．向学生渗透 数学 来源于实践又反过来作用于实践的观点；

2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.

（四）美育渗透点

通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.

二、学法引导

教师采用类比法、观察法、练习法

学生 学习 反比例函数要与 学习 其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数 k 的符号.

三、重点?难点?疑点及解决办法

1． 教学重点 ：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

2． 教学难点 ：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.

3．教学疑点：（1）反比例函数为何与 x 轴， y 轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.

4．解决办法：（1） 中隐含条件是 或 ；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

四、教学步骤

（一） 教学过程

提问： 小学 是否学过反比例关系？是如何叙述的？

由学生先考虑及讨论一下.

答： 小学 学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

看下面的实例：（出示幻灯）

1． 当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 成反比例；

2．当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例；

它们分别可以写成 （ s 是常数）， （ S 是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）

一般地，函数 （ k 是常数， ）叫做反比例函数.

即在上面的例子中，当路程 s 是常数时，时间 t 就是速度 v 的反比例函数，能否说：速度 v 是时间 t 的反比例函数呢？

通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 （ k 是常数， ）就可以．因此可以说速度 v 是时间 t 的反比例函数，因为 （ s 是常量）．对第2个实例也一样．

练习一：教材P129中1  口答．P130  1

根据前面 学习 特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？

答：图像和性质．

通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后

学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．

下面，我们就来看桓隼猓海ǔ鍪净玫疲?/P>

例1  画出反比例函数 与 的图像．

提问：1．画函数图像的关键问题是什么？

答：合理、正确地选值列表．

2．在选值时，你认为要注意什么问题？

答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；

（2）不能选 ，因为 时函数无意义；

（3）选整数较好计算和描点．

这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意．

3．你能不能自己完成这道题呢？

学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：

注意：（1）一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）这两条曲线不相交；

（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近 x 轴和 y 轴，但永不会与 x 轴和 y 轴相交．

关于注意（3）可问学生：为什么图像与 x 和 y 轴不相交？

通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．

再让学生观察黑板上的图，提问：

1．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内， y 随 x 的增大怎样变化？

2．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内， y 随 x 的增大怎样变化？

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：

对于双曲线（1）当 ：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限， y 随 x 的增大而减少；（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限， y 随 x 的增大而增大．
3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上

上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）

例2已知 y 与 成反比例，并且当 时， ，求 时， y 的值.

用提问的方式对此题加以分析：

（1） y 与 成反比例是什么含义？

由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .

（2）根据这个式子，能否求出当 时， y 的值？

（3）要想求出 y 的值，必须先知道哪个量呢？

（4）怎样才能确定 k 的值？用什么条件？

答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出 k 的值.

（5）你能否自己完成这道例题：

由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.

例3   已知： ， 与 x 成正比例， 与 x 成反比例，当 时， 时， ，求 y 与 x 的解析式.

分析：一定要先写出 y 与 x 的函数表达式 ，

要用 x 分别把 ， 表示出来得 ，

要注意 不能写成 k ，∴

解：设 ，

.

由题意得

∴ .

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图像是什么样的？

3．反比例函数 的性质是什么？

4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.

五、布置作业

1．教材P130中4，5，6

2．选做：P130中B1，2

六、 板书设计

13．8反比例函数及其图像 引例：（1）例1 ：　　例2：　　例3： （2） 1．反比例函数： 2．反比例函数的性质

探究活动

已知： 如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D 。 。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点 A 的横坐标为 m ， 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；

（3）当 的面积等于 时，试判断过 A 、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解：（1）过点 B 作 轴于点 H 。

在Rt 中，

由勾股定理，得

又 ，

∴  点 B （－3，－1）。

设反比例函数的解析式为

。

∵  点 B 在反比例函数的图像上，

。

∴  反比例函数的解析式为 。

（2）设直线 AB 的解析式为 。

由点 A 在第一象限，得 。

又由点 A 在函数 的图像上，可求得点 A 的纵坐标为 。

∵  点 B （－3，－1），点 ，

∴ 解关于 、 的方程组，得

∴  直线 AB 的解析式为 。

令 。

求得点 D 的横坐标为 。

过点 A 作 轴于点 G

由已知，直线经过第一、二、三象限，

∴ ，即 。

由此得

∴ 。

即 。

（3）过 A 、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长不能等于3。

证明如下：

。

由 ，

得

解得 。

经检验， 都是这个方程的根。

，

∴ 不合题意，舍去。

∴  点 A （1，3）。

设过 A （1，3）、 B （－3，－1）两点的抛物线的解析式为 。

∴ 由此得

即 。

设抛物线与 x 轴两交点的横坐标为 。

则

令

则 。

即 。

整理，得 。

，

∴  方程 无实数根。

因此过 A 、B 两点的抛物线在 x 轴上截得的线段长不能等于3。