下列各式中,是一元一次不等式的是( ).
A.x2+3x>1 B. C.
D.
D
【详解】
A选项:未知数x的次数是2,不是一元一次不等式,故本选项错误;
B选项:,是二元一次不等式,故本选项错误;
C选项:分母中含有未知数x,不是一元一次不等式,故本选项错误;
D选项:是一元一次不等式,正确.
故选D.
下列运算,正确的是( )
A. B.
C.
D.
D
【分析】
分别用同底数幂的乘法、除法运算法则及幂的乘方分析即可得出答案.
【详解】
解:选项A:根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加:,故A错误.
选项B:根据同底数幂相除,底数不变,指数相减:,故B错误.
选项C:和
不是同类项,不能相减,故C错误.
选项D:,故选项D正确.
故答案选D.
【点睛】
此题主要考察了同底数幂相乘、相除及乘方的运算公式,属于基础题,熟练掌握公式是关键.
下列变形中不正确的是( )
A.由,得
B.若
,则
(
为有理数)
C.不等式的解一定是不等式
的解 D.由
得
B
【分析】
根据不等式的性质逐个分析即可得出结论.
【详解】
解:选项A:∵ a>b,∴ b<a,故选项A正确,但不符合题目意思,故不选;
选项B:当c=0时,,故选项B不正确,符合题目意思;
选项C:∵9<10,∴的解集一定是不等式
的解,故选项C正确,但不符合题目意思,故不选;
选项D:,不等式两边同时乘以-2,得
,故选项D正确,但不符合题目意思,故不选.
故答案选B.
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质,属于基础题,熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.
如图所表示的是下面哪一个不等式组的解集( )
A. B.
C.
D.
D
【解析】
由图示可看出,从−2出发向右画出的线且−2处是空心圆,表示x>−2;
从1出发向左画出的线且1处是实心圆,表示x⩽1,所以这个不等式组为.
故选D.
下列计算中,正确的是( )
A. B.
C. D.
D
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式逐个分析即可得出结论.
【详解】
解:选项A:,故选项A错误.
选项B:,故选项B错误.
选项C:,故选项C错误.
选项D:,故选项D正确.
故答案选D.
【点睛】
本题考查平方差公式和完全平方公式,属于基础题,熟练掌握公式是解题关键.
某电子商城销售一批电视,第一个月以元
台的价格售出
台,第二个月以
元
台的价格将剩下的全部售出,销售金额超过
万元,这批计算机至少( )台.
A. B.
C.
D.
C
【分析】
设这批计算机至少有x台,根据第一个月和第二个月的销售总金额超过55万元,列出不等式求解.
【详解】
解:设这批计算机有x台.
由题意知:5500×60+5000(x-60)>550000
解得:x>104,且x为正整数,
故这批计算机至少有105台.
故答案为C.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用,关键是读懂题意,设一个未知数x,其余的量用x的代数式表示,根据题意列出不等式求解即可.
已知(其中
、
为常数),则
_____,
______.
【分析】
根据多项式乘多项式的运算法则,将等号右边计算出来,再与等号左边同类项系数进行比较,即可得出答案.
【详解】
解:等号右边:
故比较等式左右两边,同类项系数要相同,
∴ ,解得:
故答案为:.
【点睛】
本题主要考察多项式的乘法法则,两个多项式相等,则要求等号两边多项式中的各个同类项单项式的系数要相同,据此即可解题.
最薄的金箔的厚度为,用科学记数法表示为________
.
.
【解析】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
0.000000091m用科学记数法表示为.
故答案为.
【点睛】
考查科学记数法,掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键.
当______时,不等式
的解集是
.
<1
【分析】
不等式解集中不等号的方向与题目中的不等号方向相反,由不等式的基本性质可知:
,由此可解出n的范围.
【详解】
∵不等式的解集是
;
∴,∴
.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考察不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以或除以(非0)的数,不等号的方向发生改变.
不等式的最大整数解是______
2
【解析】
解不等式-x+3>0,可得x<3,然后确定其最大整数解为2.
故答案为2.
点睛:此题主要考查了不等式的解法和整数解得确定,解题关键是利用不等式的基本性质3解不等式,然后才能从解集中确定出最大整数解.
若,
,则
________.
【分析】
逆用同底数幂的除法公式及幂的乘法公式,化成已知条件的形式,再计算即可求解.
【详解】
解:.
故答案为:.
【点睛】
本题考查同底数幂的除法及幂的乘法公式的逆运算,熟练掌握公式后再灵活变通是解题关键.
已知关于的方程
的解不小于
,则
的取值范围是________.
m≤-2
【分析】
先解一元一次方程求得x的值,再根据x≥3,即可求出m的取值范围.
【详解】
解:解方程:8-5(m+x)=x,即8-5m-5x=x
整理得:-6x=5m-8,解得:.
又x≥3,
∴,
去分母,解该不等式得:8-5m≥18,
∴m≤-2.
故答案为:m≤-2.
【点睛】
本题考查一元一次方程和一元一次不等式,题目中不小于的含义就是大于或等于,准确理解题意再建立不等式求解.
已知不等式组的解集为
,则
的值是________.
【分析】
根据不等式的解集求出a,b的值,即可求解.
【详解】
解得
∵解集为
∴=1,3+2b=-1,
解得a=1,b=-2,
∴=2×(-3)=-6
【点睛】
此题主要考查不等式的解集,解题的关键是熟知不等式的性质及解集的定义.
某商品的成本为元,标价为
元,如果商店要以利润不低于
的价格销售,那么最低可以打_____折出售这些商品.
7.5
【分析】
设最低打x折,根据成本2000元,标价2800元,利润大于等于5%即可列出不等式,再解出不等式即可.
【详解】
解:设最低打x折,由题意可知:
解得:;故最低可以打7.5折.
故答案为:7.5.
【点睛】
本题考查一元一次不等式的实际应用,根据利润大于等于5%即可列出不等式;读懂题目意思是解此类题的关键.
若方程组的解
、
满足
,则
的取值范围是_______.
k>2
【分析】
先解方程组,先将x-y用k的代数式表示;再由x>y,即x-y>0建立k的不等式,最后解该不等式,求出k的取值范围.
【详解】
解:解方程组,
①-②得:,即:
,
解得:,
又,
∴,
解得:.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了含参二元一次方程组,先将未知数用已知字母的代数式表示出来,然后再根据题目给出的范围求出参数的取值范围;本题属于中档题,运算过程要仔细.
如果不等式组的整数解共有
个,则
的取值范围是_______.
-1<a≤0
【分析】
首先解出不等式组,然后根据整数解的个数确定a的大致取值范围,最后验证端点值是否可取.
【详解】
解:解不等式: 的解集为:
由不等式的整数解共有3个,则3个整数解为:2,1,0
故a的大致范围为:-1;再验证端点值:
当a=-1时代入解集中验证满足有4个整数解:为-1,0,1,2,不符合题意.
当a=0时代入解集中验证满足.有3个整数解:为0,1,2,符合题意.
故a的取值范围是:-1<a ≤ 0.
故答案为:-1<a ≤ 0
【点睛】
本题考查了不等式组的整数解的个数问题,先解出不等式组,然后再根据整数解的个数确定好范围,最后一定要记得验算端点值是否成立.
计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(1);(2)
;(3)
;(4)
【分析】
(1)根据即可求解;
(2)根据同底数幂的乘法公式及幂的乘方公式即可求解;
(3)根据平方差公式,先算前面两个括号,得到结果后再与第三个括号相乘;
(4)根据平方差公式,先分组,符号相同数一组,符号相反数一组,然后利用平方差公式求解.
【详解】
解:(1)原式=.
故答案为:.
(2)原式=.
故答案为:0.
(3)原式=.
故答案为:.
(4)原式=
.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考察同底数幂的乘法公式、幂的乘方公式、平方差公式、完全平方式的计算,属于中档题,熟练掌握公式是解题的关键.
分解因式
(1)
(2)
(1);(2)
【分析】
(1)先提取出来,然后括号中再分解成完全平方公式.
(2)将看成是3y的平方,再和后面的平方结合,分解成平方差公式.
【详解】
解:(1)原式=.
故答案为:.
(2)原式=
.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考察因式分解;因式分解常见方法有:提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法;对公式非常熟练是解决此类问题的关键.
解方程组:.
【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可.
【详解】
解:,
①×3+②×2得:19x=114,
解得:x=6,
把x=6代入①得:y=,
则方程组的解为:,
故答案为,
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
解下列不等式(组),并分别把它们的解集在数轴上表示出来:
(1)
(2)(并求出其整数解)
(1),数轴表示见解析;(2)
,数轴表示见解析,整数解有
,
,
,
【分析】
(1)按照解不等式的一般步骤求解即可,最后在数轴上表示出来.
(2)先分别解出每个不等式,然后在数轴上表示出来求出公共部分,最后求出其整数解.
【详解】
解:(1)去分母后得:
去括号后得:
移项后得:
合并同类项后得:
系数化为1后得:.
∴不等式的解集为:.
故答案为:,其在数轴上表示如上图所示。
(2)由不等式:,
解①得:.
解②得:
∴不等式的解集为:. 整数解为:-1,0,1,2;
故答案为:,整数解为:-1,0,1,2;其在数轴上表示如上图所示.
【点睛】
本题主要考察一元一次不等式(组)的解法及其数轴表示方法;解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤,属于中考、期中、期末考试中常见的题型.
已知,
,求
的取值范围.
【分析】
先解方程组,将x、y分别用k的代数式表示,然后根据y的范围求出k的范围,再根据k的范围求出x的范围.
【详解】
解:由题意知,方程组:,
对×2得:
然后-
得:
,
解得:
又-
∴ -,解不等式得:
.
∴
由+
得:
故的取值范围是:
故答案为:.
【点睛】
本题考查了二元一次方程和一元一次不等式的解集问题,当题中有两个或以上字母时,采用消元法用已知范围的字母的代数式表示,然后根据已知字母的范围,求出未知字母的范围.
丁丁参加了一次智力竞赛,共回答了30道题,题目的评分标准是这样的:答对一题加5分,一题答错或不答倒扣1分.如果在这次竞赛中丁丁的得分要超过100分,那么他至少要答对多少题.
丁丁至少要答对22道题.
【解析】
设他要答对x题,由于他共回答了30道题,其中答对一题加5分,一题答错或不答倒扣1分,他这次竞赛中的得分要超过100分,由此可以列出不等式5x﹣(30﹣x)>100,解此不等式即可求解.
【详解】
解:设丁丁要答对x道题,那么答错和不答的题目为(30﹣x)道.
根据题意,得5x﹣(30﹣x)>100
解这个不等式得x>.x取最小整数,得x=22.
答:丁丁至少要答对22道题.
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式的应用,解题的关键首先正确理解题意,然后根据题目的数量关系列出不等式即可解决问题.
某班为了准备奖品,王老师购买了笔记本和钢笔共件,笔记本一本
元,钢笔一支
元,一共
元.
(1)笔记本、钢笔各多少件?
(2)王老师计划再购买笔记本和钢笔共件(钢笔和笔记本每样至少一件),但是两次总花费不得超过
元,有多少种购买方案?请将购买方案一一写出.
(1)笔记本本,钢笔
支;(2)
种购买方案,分别为:①笔记本
本,钢笔
支;②笔记本
本,钢笔
支;③笔记本
本,钢笔
支
【分析】
(1)设购买笔记本为x本,钢笔y支,根据共购买笔记本和钢笔16件,花费110元,建立二元一次方程组求解.
(2)设第二次购买了笔记本m本,则钢笔购买了(8-n)支,由两次总费用不超过160元,列出不等式求解.
【详解】
解:(1)设购买笔记本为x本,钢笔y支,由题意知:
,解得:
;
故笔记本购买了6本,钢笔购买了10支.
故答案为:笔记本购买了6本,钢笔购买了10支.
(2)设第二次购买了笔记本m本,则钢笔购买了(8-m)支,由题意知:
,且m为整数.
解不等式得:,且m为整数,又题目中要求钢笔和笔记本每样至少一件.
∴m的取值可以为5,6,7共计3种购买方案.
当m=5时,则笔记本购买5本,钢笔购买3支;
当m=6时,则笔记本购买6本,钢笔购买2支;
当m=7时,则笔记本购买7本,钢笔购买1支;
故答案为:有三种购买方案,分别是:①笔记本购买5本,钢笔购买3支;②笔记本购买6本,钢笔购买2支;③笔记本购买7本,钢笔购买1支.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用,关键是理解题目意思,不超过、不小于等关键字眼,找出等量关系或不等关系,建立方程或等式求解.
甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品.为了吸引顾客,各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购买商品超出元之后,超出部分按原价八折优惠;在乙超市累计购买商品超出
元之后,超出部分按原价九折优惠.设顾客预计累计购物
元
,试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.
当时,甲超市更优惠;当
时,甲乙费用相同;当
时,乙超市更优惠,理由见解析.
【分析】
先用x的代数式表示甲、乙两家超市商品的所花的费用,然后令甲、乙超市商品的费用相同时求出x的值,此时甲、乙一样优惠,最后分三种情况讨论。
【详解】
解:∵ 在甲超市累计购买商品超出300元之后,超出部分按原价8折优惠;
∴ 甲超市所花费用为:300+0.8(x-300)=60+0.8x;
∵ 在乙超市购买商品超出元之后,超出部分按原价九折优惠;
∴ 乙超市所花费用为:200+0.9(x-200)=20+0.9x;
故:当60+0.8x=20+0.9x时,解得x=400.
即购物金额在x=400元时,甲、乙两家超市购物一样的优惠.
当60+0.8x<20+0.9x时,解得x>400.
即购物金额x>400元时,甲超市更优惠.
当60+0.8x>20+0.9x时,解得x<400.
即购物金额300<x<400元,乙超市更优惠.
故答案为:购物金额x=400元时一样优惠;x>400时,甲超市更优惠;300<x<400时,乙超市更优惠.
【点睛】
本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用,属于方案设计问题,解答时列出相应的代数式是解题的关键.
自学下面材料后,解答问题.
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如:;
等.那么如何求出它们的解集呢?
根据我们学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其字母表达式为:若,
,则
;若
,
,则
;若
,
,则
;若
,
,则
.
(1)反之:若,则
或
;若
,则______或_______.
(2)根据上述规律,求不等式的解集.
(3)直接写出分式不等式的解集___________.
(1)或
;(2)
或
;(3)
或
【分析】
(1)根据有理数的运算法则,两数相除,同号得正,异号得负即可解答.
(2)根据不等式大于0得到分子分母同号,再分类讨论即可.
(3)观察不等式后,发现分子相同且为正数,故只需要比较分母,再对分母的正负性进行分类讨论即可.
【详解】
解:(1)若,则分子分母异号,故
或
故答案为: 或
.
(2)∵不等式大于0,∴分子分母同号,故有:
或
解不等式组得到:或
.
故答案为:或
.
(3)由题意知,不等式的分子为是个正数,故比较两个分母大小即可.
情况①:时,即
时,
,解得:
.
情况②:时,即
时,
,解得:
.
情况③:时,此时
无解.
故答案为:或
.
【点睛】
本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法,题目比较新颖,需要进行分类讨论,将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键;第3问中分子相同且为正数,故对分母的大小及正负性分类讨论.