初中数学2020年年末周练知识点——解直角三角形与其应用训练题（1）【含详解】
初中
整体难度：偏难
2020-12-21
题号
一
二
三
四
五
评分
一、选择题 (共24题)
添加该题型下试题
1.
如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里 C．20
海里 D．30海里
难度：
知识点：解直角三角形与其应用
使用次数：196
【答案】
D
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=
（海里）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
2.
如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：特殊的平行四边形
使用次数：164
【答案】
C
【解析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．
【详解】
根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，
∴DC=DE=4，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，
∴AF=AB﹣BF=1+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，
解得：x=
，
∴DF=4﹣x=
，
∴cos∠ADF=
，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．
3.
如图，一艘船由
港沿北偏东65°方向航行
至
港，然后再沿北偏西40°方向航行至
港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：解直角三角形与其应用
使用次数：140
【答案】
B
【分析】
根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得
，
;根据直角三角形的性质求解即可.
【详解】
解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB=
，
所以可得
因此可得
故选B.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.
4.
如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转
后得到正方形
，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形
，那么点
的坐标是( )
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：图形的旋转
使用次数：188
【答案】
A
【分析】
根据旋转的性质分别求出点A1、A2、A3、…的坐标，继而发现8次为一个循环，用2019除以8，看余数即可求得答案.
【详解】
四边形OABC是正方形，且
，
，
将正方形OABC绕点O逆时针旋转
后得到正方形
，
∴点A1的横坐标为1
，点A1的纵坐标为1
，
，
继续旋转则
，
，A4(0，-1)，A5
，A6(-1，0)，A7
，A8(0，1)，A9
，……，
发现是8次一循环，所以
…余3，
点
的坐标为
，
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，规律题——点的坐标的变化规律，通过分析正确得出坐标的变化规律是解题的关键.
5.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A．
B．
C．
D．
难度：
知识点：解直角三角形与其应用
使用次数：113
【答案】
A
【解析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=
，BC=2，tan∠A=
，
∴∠A=30°，
∴OH=
OA=
，AH=AO•cos∠A=
，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=
，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
=
，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
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试题总数：
100
总体难度：
偏难
难度统计
难度系数
数量
占比
中等
61
61.0%
偏难
35
35.0%
容易
1
1.0%
很难
3
3.0%
题型统计
大题类型
数量
占比
选择题
24
24.0%
解答题
52
52.0%
填空题
24
24.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
解直角三角形与其应用
51
51.0%
特殊的平行四边形
6
6.0%
图形的旋转
3
3.0%
与三角形有关的角
1
1.0%
勾股定理
4
4.0%
相似三角形
2
2.0%
圆的有关性质
4
4.0%
轴对称
2
2.0%
点和圆、直线和圆的位置关系
9
9.0%
锐角三角函数
1
1.0%
等腰三角形
5
5.0%
实际问题与二次函数
1
1.0%
二次函数单元测试
1
1.0%
三角形全等的判定
2
2.0%
平行线的性质
1
1.0%
一次函数
2
2.0%
平行四边形
1
1.0%
直射、射线、线段
1
1.0%
反比例函数单元测试
2
2.0%
平面直角坐标系
1
1.0%
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