如图,抛物线交x轴于
两点,交y轴于点C.直线
经过点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴l与直线相交于点P,连接
,判定
的形状,并说明理由;
(3)在直线上是否存在点M,使
与直线
的夹角等于
的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)
的为直角三角形,理由见解析;(3)存在使
与直线
的夹角等于
的2倍的点,且坐标为M1(
),M2(
,
).
【解析】
(1)先根据直线经过点
,即可确定B、C的坐标,然后用带定系数法解答即可;
(2)先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性,说明三角形APB为等腰三角形;再结合OB=OC得到∠ABP=45°,进一步说明∠APB=90°,则∠APC=90°即可判定的形状;
(3)作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,AC于E;然后说明△ANB为等腰直角三角形,进而确定N的坐标;再求出AC的解析式,进而确定M1E的解析式;然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标;在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】
解:(1)∵直线经过点
∴当x=0时,可得y=5,即C的坐标为(0,5)
当y=0时,可得x=5,即B的坐标为(5,0)
∴解得
∴该抛物线的解析式为
(2)的为直角三角形,理由如下:
∵解方程=0,则x1=1,x2=5
∴A(1,0),B(5,0)
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为(5,0), B的坐标为(5,0)
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°,
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形;
(3)如图:作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,AC于E,
∵M1A=M1C,
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N(3,2)
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0,5),A(1,0)
∴ 解得b=5,k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为()
∴=
×
+n,解得:n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为();
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2(a,-a+5)
则有:3=,解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为(,
).
综上,存在使与直线
的夹角等于
的2倍的点,且坐标为M1(
),M2(
,
).
【点睛】
本题属于二次函数与几何的综合题,主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识,考查知识点较多,综合应用所学知识成为解答本题的关键.
如图,在中,
,以
为直径作
,过点C作直线
交
的延长线于点D,使
.
(1)求证:为
的切线;
(2)若平分
,且分别交
于点
,当
时,求
的长.
(1)见解析;(2)EF=.
【解析】(1)如图,连接OC,欲证明CD是的切线,只需求得∠OCD=
;
(2)由角平分线及三角形外角性质可得,即∠CEF=∠CFE,根据勾股定理可求得EF的长.
【详解】
(1)证明:如图,连接OC
∵为
的直径
∴,即∠A+∠ABC=
又∵OC=OB
∴∠ABC=∠OCB
∵
∴∠BCD+∠OCB=,即∠OCD=
∵OC是圆O的半径
∴CD是的切线.
(2)解:∵平分
∴∠CDE=∠ADE
又∵
∴,即∠CEF=∠CFE
∵∠ACB=,
∴CE=CF=2
∴EF=
【点睛】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理,熟练进行推理论证是解题关键.
“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座,位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日,“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图,航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行,拍摄云海中的“南天一柱”美景.在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为
,继续飞行
到达B处,这时测得“南天一柱”底部C的俯角为
,已知“南天一柱”的高为
,问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全?(参考数据:
,
,
)
安全
【解析】设无人机距地面xm,直线AB与南天一柱相交于点D,根据AD-BD=AB列方程求出x的值,与南天一柱的高度比较即可.
【详解】
解:设无人机距地面xm,直线AB与南天一柱相交于点D,由题意得∠CAD=37°,∠CBD=45°.
在Rt△ACD中,
∵tan∠CAD=,
∴AD=.
在Rt△BCD中,
∵tan∠CBD=,
∴BD=.
∵AD-BD=AB,
∴-
=9×6,
∴x=162,
∵162>150,
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用构建方程的思想思考问题.
今年疫情防控期间,某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒液,花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的单价.
第一批购进的消毒液的单价为10元.
【解析】
设第一批购进的消毒液的单价为x元,根据两次购买到的数量相等可列出方程求解.
【详解】
解:设第一批购进的消毒液的单价为x元,
根据题意可得:,
解得:x=10,
经检验,x=10是原方程的根,
答:第一批购进的消毒液的单价为10元.
【点睛】
本题考查分式方程的应用,解题的关键是根据题中等量关系列出方程,分式方程要记得验根.
为保障学生的身心健康和生命安全,政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动.为了调查学生对安全知识的掌握情况,从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试,将成绩(成绩取整数)分为“A:69分及以下,B:70~79分,C:80~89分,D:90~100分”四个等级进行统计,得到右边未画完整的统计图:
D组成绩的具体情况是:
分数(分) | 93 | 95 | 97 | 98 | 99 |
人数(人) | 2 | 3 | 5 | 2 | 1 |
根据以上图表提供的信息,解答下列问题:
(1)请补全条形统计图;
(2)D组成绩的中位数是_________分;
(3)假设该校有1200名学生都参加此次测试,若成绩80分以上(含80分)为优秀,则该校成绩优秀的学生人数约有多少人?
(1)见解析;(2)97;(3)690人.
【解析】
(1)用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数,然后补全条形统计图即可;
(2)D组共有13人,把数据按照从小到大(从大到小)的顺序排列,找到中间第七个数据即可;
(3)用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数.
【详解】
解:(1)∵随机抽取40名学生,根据条形统计图可以得出:A为5人,B为12人,D为13人,
∴C的人数为:,
补全条形统计图如下图:
(2)D组共有13名学生,按照从小到大的顺序排列:
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99
第七个数据为中位数,是97,
故答案为:97;
(3)80分以上的是C、D两组,共有10+13=23人,所占的比列为:23÷40=0.575
所以1200名学生中80分以上的人数有:1200×0.575=690(人),
故答案为:690人.
【点睛】
本题主要考查的是条形统计图,中位数以及用样本估计总体,解决本题的关键就是明确题意,找出所求问题的条件,仔细计算.
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