解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入y＝ax²＋bx，得，解得；∴该抛物线的表达式为y＝－x²＋4x；∴对称轴为x＝2，∴点C的坐标为(3，3)，又∵点B的坐标为(1，3)，∴BC＝2，∴S_△ABC＝×2×3＝3；(2)如图①，过P点作PD⊥BH交BH于点D，设点P(m，－m²＋4m)，根据题意，得BH＝AH＝3，HD＝m²－4m，PD＝m－1，∴S_△ABP＝S_△ABH＋S_{四边形HAPD}－S_△BPD，即6＝×3×3＋(3＋m－1)(m²－4m)－(m－1)(3＋m²－4m)，∴3m²－15m＝0，m₁＝0(舍去)，m₂＝5，∴点P坐标为(5，－5)；

(3)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图②，CM＝MN，∠CMN＝90°，

则△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得：MC＝＝，∴S_△CMN＝××＝；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图③，作辅助线，构建如图③的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝＝，∴S_△CMN＝××＝；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图④，CN＝MN，∠MNC＝90°，作辅助线，同理得：CN＝＝，∴S_△CMN＝××＝17；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图⑤，同理得：CN＝＝＝，此时点N与点A重合，∴S_△CMN＝××＝5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：△CMN的面积为：或或17或5

解：(1)线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC，AD＝EC；

(2)如图②，连接AD、EC并延长，设交点为点F，∵△ABC∽△DBE，∴＝，∴＝.∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ABD∽△CBE.∴＝.在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，tan∠ACB＝，∵tan30°＝，∴＝.又∵∠DBE＝90°，∠DEB＝30°，∴∠4＝60°，∴∠5＋∠6＝120°.∵△ABD∽△CBE，∴∠5＝∠CEB＝30°＋∠7，∴∠7＝∠5－30°，∠6＝120°－∠5，∴∠7＋∠6＝90°，∴∠DFE＝90°即AD⊥CE；(3)在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，且夹角度数为(180－α－β)度

解：如图，作DH⊥BC于H，设DH＝x米．

∵∠AHD＝90°，

∴在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝＝x，

在Rt△BDH中，∠DBH＝45°，BH＝DH＝x，BD＝x，

∵AH－BH＝AB＝10，

即x－x＝10，

∴x＝5(＋1)，

则小明此时所收回的风筝的长度为：

AD－BD＝2x－x＝(2－)×5(＋1)≈(2－1.414)×5×(1.732＋1)≈8米．

答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米

解：(1)设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，

根据题意得：，

解得：，则2m＝10.

答：参加社会实践的老师、家长与学生各有5、10与50人；

(2)由(1)知所有参与人员总共有65人，其中学生有50人，

①当50≤x＜65时，最经济的购票方案为：

学生都买学生票共50张，(x－50)名成年人买二等座火车票，(65－x)名成年人买一等座火车票．

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：y＝60×0.75×50＋60(x－50)＋95(65－x)，

即y＝－35x＋5425(50≤x＜65)；

②当0＜x＜50时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共(65－x)张．

∴火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为：y＝60×0.75x＋95(65－x)，

即y＝－50x＋6175(0＜x＜50)，

∴购买单程火车票的总费用y与x之间的函数关系式为：y＝；

(3)∵x＝30＜50，

∴y＝－50x＋6175＝－50×30＋6185＝4675，

答：当x＝30时，购买单程火车票的总费用为4675元

证明：(1)∵×8＋1＝4n²＋4n＋1＝(2n＋1)²，∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

(2)∵第n个三角形数为，第n＋1个三角形数为，

∴这两个三角形数的和为：＋＝＝(n＋1)²，

即连续两个三角形数的和是一个完全平方数