【考点】MR：圆的综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；

（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；

（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM²+MR²=AR²=AC²+CR²，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；

②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S_△ACG=CG×CH=，再根据S_△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．

【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如图1，连接MD，

∵MD为△PAB的中位线，

∴MD∥AP， ~#]

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴=2∠MDB=56°；

（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B

∴AC=AB；

（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，

∵MD是Rt△MBP的中线，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM²+MR²=AR²=AC²+CR²，

∴1²+MR²=2²+PR²，

∴1²+（4﹣PR）²=2²+PR²，

∴PR=，

∴MR=，

Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，

∴Q与R重合，

∴MQ=MR=；

Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，

∴MQ=；

Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，

∵BM=1，MP=4，

∴BP=，

∴DP=BP=，

∵cos∠MPB==，

∴PQ=，

∴MQ=；

Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ=；

综上所述，MQ的值为或或；

②△ACG和△DEG的面积之比为．

理由：如图6，∵DM∥AF，

∴DF=AM=DE=1，

又由对称性可得GE=GD，

∴△DEG是等边三角形，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DEF=75°=∠MDE，

∴∠GDM=75°﹣60°=15°，

∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，

∴GMD=∠GDM，

∴GM=GD=1，

过C作CH⊥AB于H，

由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，

∴CG=MH=﹣1，

∴S_△ACG=CG×CH=，

∵S_△DEG=，

∴S_△ACG：S_△DEG=．

【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用

【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．

【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；

（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；

②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m²和3x元/m²，则甲的单价为（300﹣3x）元/m²，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；

【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，

解得S≤24．

∴S的最大值为24．

（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，

∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．

②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m²和3x元/m²，则甲的单价为（300﹣3x）元/m²，

∵PQ∥AD，

∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），

由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，

解得s=，

∵0＜s＜12，

∴0＜＜12，

∴0＜x＜50，

∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m²．

【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式．

【分析】（1）思想确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；

（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；

②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE==3，求出P、D的坐标即可解决问题；

【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣=4，

∵A、B关于对称轴对称，

∴B（10，5）．

（2）①如图1中，

由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，

∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=﹣5=5﹣5．

②如图2中，

                       图2

当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，

∴DE==3，

∴点D的坐标为（4，3）．

设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x²=（4﹣x）²+2²，

∴x=，

∴P（，5），

∴直线PD的解析式为y=﹣x+．

【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．

【考点】MC：切线的性质；L7：平行四边形的判定与性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，根据平行线的性质得到∠ECD=∠FEC=45°，得到∠EOC=90°，求得EF∥OD，于是得到结论；

（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论．

【解答】解：（1）连接CE，

∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠B=45°，

∵EF是⊙O的切线，

∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，

∴∠CEO=45°，

∵DE∥CF，

∴∠ECD=∠FEC=45°，

∴∠EOC=90°，

∴EF∥OD，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）过G作GN⊥BC于N，

∴△GMB是等腰直角三角形，

∴MB=GM，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴∠FCD=∠FED，

∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，

∴∠CGM=∠ACD，

∴∠CGM=∠DEF，

∵tan∠DEF=2，

∴tan∠CGM==2，

∴CM=2GM，

∴CM+BM=2GM+GM=3，

∴GM=1，

∴BG=GM=．

【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．

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【考点】N4：作图—应用与设计作图．

【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题；

（2）设P（x，y），由题意x²+4²=4（4+y），求出整数解即可解决问题；

【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2，

∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃，

△PAB如图所示．

（2）设P（x，y），由题意x²+4²=4（4+y），

整数解为（2，1）等，△PAB如图所示．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．