【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．

（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．

（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．

（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．

【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．

将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．

∴y=﹣x²+2x+3．

则点B（1，4）．

（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．

在Rt△AOE中，OA=OE=3，

∴∠1=∠2=45°，AE==3．

在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，

∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．

∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．

∴AB是△ABE外接圆的直径．

在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，

∴∠BAE=∠CBE．

在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．

∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．

∴CB是△ABE外接圆的切线．

（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；

①DE为斜边时，P₁在x轴上，此时P₁与O重合；

由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE

满足△DEO∽△BAE的条件，因此 O点是符合条件的P₁点，坐标为（0，0）．

②DE为短直角边时，P₂在x轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP₂=∠AEB=90°，sin∠DP₂E=sin∠BAE=；

而DE==，则DP₂=DE÷sin∠DP₂E=÷=10，OP₂=DP₂﹣OD=9

即：P₂（9，0）；

③DE为长直角边时，点P₃在y轴上；

若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP₃=∠AEB=90°，cos∠DEP₃=cos∠BAE=；

则EP₃=DE÷cos∠DEP₃=÷=，OP₃=EP₃﹣OE=；

综上，得：P₁（0，0），P₂（9，0），P₃（0，﹣）．

（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．

将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．

∴y=﹣2x+6．

过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．

情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．

则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．

由△AHG∽△FHM，得，即．

解得HK=2t．

∴S_阴=S_△MNG﹣S_△SNA﹣S_△HAG=×3×3﹣（3﹣t）²﹣t2t=﹣t²+3t．

情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．

由△IQA∽△IPF，得．即，

解得IQ=2（3﹣t）．

∵AQ=VQ=3﹣t，

∴S_阴=IVAQ=（3﹣t）²=t²﹣3t+．

综上所述：s=．

【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．

【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；

（2）可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；

（3）方法同（2）．

【解答】解：（1）同意，连接EF，

则根据翻折不变性得，

∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），

∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=2DF，

∴CF=x，DC=AB=BG=2x，

∴BF=BG+GF=3x；

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²

∴y=2x，

∴；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y

∵DC=nDF，

∴BF=BG+GF=（n+1）x

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n﹣1）x]²=[（n+1）x]²

∴y=2x，

∴或．

【点评】此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．

【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE═==x，在Rt△ABC中，得到=，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由AF=BC+CE即可求出x的长．

【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，

∴四边形ABEF为矩形，

∴AF=BE，EF=AB=2

设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，

在Rt△ABC中，

∵=，AB=2，

∴BC=2，

在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，

∴AF===（x﹣2），

∵AF=BE=BC+CE．

∴（x﹣2）=2+x，

解得x=6．

答：树DE的高度为6米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、坡度问题、矩形的判定与性质、三角函数；借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．

【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．

（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．

【解答】证明：（1）如图1，连接FO，

∵F为BC的中点，AO=CO，

∴OF∥AB，

∵AC是⊙O的直径，

∴CE⊥AE，

∵OF∥AB，

∴OF⊥CE，

∴OF所在直线垂直平分CE，

∴FC=FE，OE=OC，

∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，

∵∠ACB=90°，

即：∠0CE+∠FCE=90°，

∴∠0EC+∠FEC=90°，

即：∠FEO=90°，

∴FE为⊙O的切线；

（2）如图2，∵⊙O的半径为3，

∴AO=CO=EO=3，

∵∠EAC=60°，OA=OE，

∴∠EOA=60°，

∴∠COD=∠EOA=60°，

∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，

∴CD=，

∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，

CD=，AC=6，

∴AD=．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．

【解答】解：（1）根据题意得y=（x﹣40）[300﹣5（x﹣60）]

=﹣5（x²﹣160x+4800）

=﹣5（x﹣80）²+8000，

∵a＜0，

∴当x=80时，y的值最大=8000，即销售单价定为80元时，每周的销售利润最大；

（2）当y=7680时，﹣5（x﹣80）²+8000=7680，

整理得：（x﹣80）²=64，

∴x﹣80=±8，

∴x₁=88，x₂=72，

∴72≤x≤88．

【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．