A

【分析】根据三视图的概念，从正面看到的图形就是主视图，再根据小正方体的个数和排列进行作答即可．

【详解】正面看，其主视图为：

故选： A ．

【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看所得到的图形，主视图是

从正面看所得到的图形，左视图时从左面看所得到的图形，熟练掌握知识点是解题的关键．

B

【分析】科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 10 时， n 是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．

【详解】解： 1800000=1.8×10 ⁶ ，

故选： B ．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．

C

【分析】直接移项解一元一次不等式即可．

【详解】 ，

，

，

故选： C ．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

B

【分析】观察数轴得： ，再逐项判断即可求解．

【详解】解：观察数轴得： ，故 A 错误，不符合题意； B 正确，符合题意；

∴ ，故 C 错误，不符合题意；

∴ ，故 D 错误，不符合题意；

故选： B

【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．

D

【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．

【详解】 ∵ BC ⊥ AC ，

∴△ ABC 是直角三角形，

∵∠ ABC = α ，

∴ ，

故选： D ．

【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角 ∠ A 的对边与斜边之比叫做 ∠ A 的正弦，记作 sin∠ A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．

C

【分析】由圆内接四边形的性质得 ，再由圆周定理可得 ．

【详解】解： ∵ 四边形 ABCD 内接于圆 O ，

∴

∵

∴

∴

故选： C

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键

B

【分析】根据尺规作图痕迹，可得 DF 垂直平分 AB ， BE 是 的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．

【详解】根据尺规作图痕迹，可得 DF 垂直平分 AB ， BE 是 的角平分线，

，

，

，

综上，正确的是 A 、 C 、 D 选项，

故选： B ．

【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

C

【分析】作 MN ⊥ x 轴交于点 N ，分别表示出 ON 、 MN ，利用 k 值的几何意义列式即可求出结果．

【详解】解：作 MN ⊥ x 轴交于点 N ，如图所示，

∵ P 点纵坐标为： 2 ，

∴ P 点坐标表示为：（ ， 2 ）， PQ =2 ，

由旋转可知： QM = PQ =2 ， ∠ PQM =60° ，

∴∠ MQN =30° ，

∴ MN = ， QN = ，

∴ ，

即： ，

解得： k = ，

故选： C ．

【点睛】本题主要考查的是 k 的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．

【分析】原式提取公因式 m 即可得到结果．

【详解】解：

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了提公因式分解因式，正确找出公因式是解答本题的关键．

/0.25

【分析】根据方程 有两个相等的实数根，可得 ，计算即可．

【详解】 关于 x 的方程 有两个相等的实数根，

，

解得 ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根时， ；有两个相等的实数根时， ；没有实数根时， ；熟练掌握知识点是解题的关键．

8

【分析】设店中共有 x 间房，根据 “ 今有若干人住店，若每间住 7 人，则余下 7 人无房可住；若每间住 9 人，则余下一间无人住 ” 可列一元一次方程，求解即可．

【详解】设店中共有 x 间房，

由题意得， ，

解得 ，

所以，店中共有 8 间房，

故答案为： 8 ．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找到等量关系是解题的关键．

/

【分析】直接根据弧长公式进行计算即可．

【详解】 ，

，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了弧长公式，即 ，熟练掌握知识点是解题的关键．

54

【分析】设 AB 交 EF 、 FD 与点 N、M ， AC 交 EF 、 ED 于点 G 、 H ， BC 交 FD 、 ED 于点 O 、 P ，再证明 △ FMN 、 △ ANG 、 △ BMO 、 △ DOP 、 △ CPH 、 △ EGH 是等边三角形即可求解．

【详解】设 AB 交 EF 、 FD 与点 N、M ， AC 交 EF 、 ED 于点 G 、 H ， BC 交 FD 、 ED 于点 O 、 P ，如图，

∵ 六边形 MNGHPO 是正六边形，

∴∠ GNM =∠ NMO =120° ，

∴∠ FNM =∠ FMN =60° ，

∴△ FMN 是等边三角形，

同理可证明 △ ANG 、 △ BMO 、 △ DOP 、 △ CPH 、 △ EGH 是等边三角形，

∴ MO = BM ， NG = AN ， OP = PD ， GH = HE ，

∴ NG + MN + MO = AN + MN + BM = AB ， GH + PH + OP = HE + PH + PD = DE ，

∵ 等边 △ ABC ≌ 等边 △ DEF ，

∴ AB = DE ，

∵ AB =27cm ，

∴ DE =27cm ，

∴ 正六边形 MNGHPO 的周长为： NG + MN + MO + GH + PH + OP = AB + DE =54cm ，

故答案为： 54 ．

【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．

/

【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时， y 随 x 的增大而增大，当 时， y 随 x 的增大而减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．

【详解】解： ，

∴ 当 时， y 随 x 的增大而增大，当 时， y 随 x 的增大而减小，

若 ，当 时， y 随 x 的增大而减小，

此时当 时，函数值 y 最小，最小值为 ，不合题意，

若 ，当 时，函数值 y 最小，最小值为 1 ，

∴ ，

解得： 或 （舍去）；

综上所述， a 的值为 ．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

，

【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将 代入求值即可求解．

【详解】解：原式＝

当 时，原式

【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键．

【分析】采用列表法列举即可求解．

【详解】根据题意列表如下：

由表可知，总的可能结果有 4 种，两次之和不大于 3 的情况有 3 种，

故所求概率为： 3÷4= ，

即两次分数之和不大于 3 的概率为 ．

【点睛】本题考查了用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，掌握用列表法或者树状图法列举求解概率是解答本题的关键．

乙班每小时挖 400 千克的土豆

【分析】设乙班每小时挖 x 千克的土豆，则甲班每小时挖 (100+ x ) 千克的土豆，根据题意列出分式方程即可求解．

【详解】设乙班每小时挖 x 千克的土豆，则甲班每小时挖 (100+ x ) 千克的土豆，

根据题意有： ，

解得： x =400 ，

经检验， x =400 是原方程的根，

故乙班每小时挖 400 千克的土豆．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意列出分式方程是解答本题的关键．

(1) 直角三角形

(2) 见解析（答案不唯一）

(3) 见解析

(4) 翙解析

【分析】（ 1 ）运用勾股定理分别计算出 AB ， AC ， BC 的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论；

（ 2 ）作出点 A 关于 BC 的对称点 D ，连接 BD ， CD 即可得出 与 全等：

（ 3 ）过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ，则可知 ：

（ 4 ）作出以 AB 为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交 AB 于点 P ，交 BC 于点 Q ，则点 P ， Q 即为所求．

【详解】（ 1 ） ∵

∴ ,

∴ 是直角三角形，

故答案为：直角三角形；

（ 2 ）如图，点 D 即为所求作，使 与 全等：

（ 3 ）如图所示，点 E 即为所作，且使 ：

（ 4 ）如图，点 P ， Q 即为所求，使得 ，且相似比为 1 ： 2 ．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．

(1) 见解析

(2)

【分析】（ 1 ）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；

（ 2 ）设 ，则 ，根据菱形的性质可得 ， ，勾股定理求得 ，根据 ， ，即可求解．

【详解】（ 1 ）证明： ， ，

∴ 四边形 是平行四边形，

∵ ，

四边形 是菱形；

（ 2 ）解： ，

设 ，则 ，

四边形 是菱形；

， ，

，

在 中， ，

，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．

(1)2020

(2)18.1%

(3)5479 ， 30.2

(4)①× ， ②√ ， ③√

【分析】（ 1 ）观察统计图可得专利授权量最多的是 2020 年，即可求解；

（ 2 ）先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；

（ 3 ）分别用 2020 年长春市专利授权量减去 2019 年长春市专利授权量， 2020 年专利授权量年增长率减去 2019 年专利授权量年增长率，即可求解；

（ 4 ） ① 根据题意可得 2017 年的的专利授权量的增长量低于 2019 年的，可得 ① 错误； ② 根据专利授权量年增长率 ，可得 ② 正确； ③ 观察统计图可得从 2016 年到 2020 年，每年的专利授权量都有所增加，可得 ③ 正确，即可求解．

【详解】（ 1 ）解：根据题意得：从 2016 年到 2020 年，专利授权量最多的是 2020 年；

故答案为： 2020

（ 2 ）解：把专利授权量年增长率从小到大排列为： 15.8% ， 16.0% ， 18.1% ， 25.4% ， 46.0% ，

位于正中间的是 18.1% ，

∴ 专利授权量年增长率的中位数是 18.1% ；

故答案为： 18.1%

（ 3 ）解：与 2019 年相比， 2020 年长春市专利授权量增加了 17373-11894=5479 件；

专利授权量年增长率提高了 46.0%-15.8%=30.2% ，

专利授权量年增长率提高了 30.2 个百分点；

故答案为： 5479 ， 30.2

（ 4 ）解： ① 因为 2017 年的专利授权量的增长量为 8190-7062=1128 件； 2019 年的专利授权量的增长量 11894-10268=1626 件，

所以 2019 年的专利授权量的增长量高于 2017 年的专利授权量的增长量，故 ① 错误；

故答案为： ×

② 因为专利授权量年增长率 ，

所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故 ② 正确；

故答案为： √

根据题意得：从 2016 年到 2020 年，每年的专利授权量都有所增加，

所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故 ③ 正确；

故答案为： √

【点睛】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．

(1)2.6

(2) 甲车距 A 地的路程 y 与 x 之间的函数关系式 （ 2≤ x ≤6 ）

(3)300 千米

【分析】（ 1 ）先根据甲乙两车相遇时甲车行驶的路程除以速度可求出 m 的值，再用 m 的值加 4 即可得 n 的值；

（ 2 ）由（ 1 ）得（ 2 ， 200 ）和（ 6 ， 440 ），再运用待定系数法求解即可；

（ 3 ）先求出乙车的行驶速度，从而可求出行驶时间，代入函数关系式可得结论．

【详解】（ 1 ）根据题意得， （时）

（时）

故答案为： 2.6 ；

（ 2 ）由（ 1 ）得（ 2 ， 200 ）和（ 6 ， 440 ），

设相遇后，甲车距 A 地的路程 y 与 x 之间的函数关系式为

则有： ，

解得，

甲车距 A 地的路程 y 与 x 之间的函数关系式 （ 2≤ x ≤6 ）

（ 3 ）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为 440-200=240 千米，

∴ 乙车的速度为： 240 ÷ 2=120 （千米 / 时）

∴ 乙车行完全程用时为： 440 ÷1 20= （时）

∵

∴ 当 时， 千米，

即：当乙车到达 A 地时，甲车距 A 地的路程为 300 千米

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象是解答本题的关键．

(1) 见解析

(2)22.5° ，

(3)

【分析】（ 1 ）根据折叠的性质可得 AD = AF ， ，由 HL 可证明结论；

（ 2 ）根据折叠的性质可得 证明 是等腰直角三角形，可求出 GF 的长，从而可得结论 ；

（ 3 ）根据题意可知点 F 与点 D 关于 AG 对称，连接 PD ，则 PD 为 PQ + FQ 的最小值，过点 P 作 PR ⊥ AD ，求出 PR = AR = ，求出 DR ，根据勾腰定理可得结论．

【详解】（ 1 ）证明：四边形 是矩形，

∴ ．

由折叠可知， ， ．

∴ ．

∴ ．

由折叠得， ，

∴

∴

又 AD = AF ， AG = AG

∴

（ 2 ）由折叠得， ∠

又 ∠

∴∠

由 得， ∠

∠

又 ∠

∴∠

∴∠

∴

设 则

∴

∴

∴

（ 3 ）如图，连接

∵

∴ AG 是 FD 的垂直平分线，即点 F 与点 D 关于 AG 轴对称，

连接 PD 交 AG 于点 Q ，则 PQ + FQ 的最小值为 PD 的长；

过点 P 作 交 AD 于点 R ，

∵∠

∴∠

∴

又

∴

∴

在 中，

∴

∴ 的最小值为

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．

(1)3

(2) 当 0≤ t ≤1 时， ；当 1 ＜ t ≤2 时， ；

(3)

(4) 或

【分析】（ 1 ）连接 DM ，根据等腰三角形的性质可得 DM ⊥ AB ，再由勾股定理，即可求解；

（ 2 ）分两种情况讨论：当 0≤ t ≤1 时，点 P 在 AD 边上；当 1 ＜ t ≤2 时，点 P 在 BD 边上，即可求解；

（ 3 ）过点 P 作 PE ⊥ DM 于点 E ，根据题意可得点 A 的运动轨迹为以点 M 为圆心， AM 长为半径的圆，可得到当点 D 、 A ′ 、 M 三点共线时，线段 最短，此时点 P 在 AD 上，再证明 △ PDE ∽△ ADM ，可得 ，从而得到 ，在 中，由勾股定理可得 ，即可求解；

（ 4 ）分两种情况讨论：当点 位于 M 、 C 之间时，此时点 P 在 AD 上；当点 （ ）位于 C M 的延长线上时，此时点 P 在 BD 上，即可求解．

【详解】（ 1 ）解：如图，连接 DM ，

∵ AB =4 ， ，点 M 为边 的中点，

∴ AM = BM =2 ， DM ⊥ AB ，

∴ ，

即点 D 到边 的距离为 3 ；

故答案为： 3

（ 2 ）解：根据题意得：当 0≤ t ≤1 时，点 P 在 AD 边上，

；

当 1 ＜ t ≤2 时，点 P 在 BD 边上， ；

综上所述，当 0≤ t ≤1 时， ；当 1 ＜ t ≤2 时， ；

（ 3 ）解：如图，过点 P 作 PE ⊥ DM 于点 E ，

∵ 作点 A 关于直线 的对称点 ，

∴ A ′ M = AM =2 ，

∴ 点 A 的运动轨迹为以点 M 为圆心， AM 长为半径的圆，

∴ 当点 D 、 A ′ 、 M 三点共线时，线段 最短，此时点 P 在 AD 上，

∴ ，

根据题意得： ， ，

由（ 1 ）得： DM ⊥ AB ，

∵ PE ⊥ DM ，

∴ PE ∥ AB ，

∴△ PDE ∽△ ADM ，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，解得： ，

∴ ，

∴ ；

（ 4 ）解：如图，

当点 M 、 、 C 三点共线时，且点 位于 M 、 C 之间时，此时点 P 在 AD 上，

连接 A A ′ ， A ′ B ，过点 P 作 PF ⊥ AB 于点 F ，过点 A ′ 作 A ′ G ⊥ AB 于点 G ，则 A A ′⊥ PM ，

∵ AB 为直径，

∴∠ A =90° ，即 A A ′⊥ A ′ B ，

∴ PM ∥ A ′ B ，

∴∠ PMF =∠ AB A ′ ，

过点 C 作 CN ⊥ AB 交 AB 延长线于点 N ，

在 中， AB ∥ DC ，

∵ DM ⊥ AB ，

∴ DM ∥ CN ，

∴ 四边形 CDMN 为平行四边形，

∴ CN = DM =3 ， MN = CD =4 ，

∴ CM =5 ，

∴ ，

∵ M =2 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 PF =3 FM ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，即 AF =2 FM ，

∵ AM =2 ，

∴ ，

∴ ，解得： ；

如图，当点 （ ）位于 C M 的延长线上时，此时点 P 在 BD 上， ，

过点 作 于点 G ′ ，则 ，取 的中点 H ，则点 M 、 P 、 H 三点共线，过点 H 作 HK ⊥ AB 于点 K ，过点 P 作 PT ⊥ AB 于点 T ，

同理： ，

∵ HK ⊥ AB ， ，

∴ HK ∥ A ′′ G ′ ，

∴ ，

∵ 点 H 是 的中点，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 MT =3 PT ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ MT + BT = BM =2 ，

∴ ，

∴ ，解得： ；

综上所述， t 的值为 或 ．

【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点 的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．

(1)

(2)

(3) 或

(4) 或 或 ．

【分析】（ 1 ）将点 代入 ，待定系数法求解析式即可求解；

（ 2 ）设 ，根据对称性可得 ，根据 ，即可求解；

（ 3 ）根据题意分两种情况讨论，分别求得当正方形 点 在 轴上时，此时 与 点重合，当 经过抛物线的对称轴 时，进而观察图像即可求解；

（ 4 ）根据题意分三种情况讨论，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．

（ 1 ）

解： ∵ 抛物线 （ b 是常数）经过点

∴

解得

（ 2 ）

如图，

由

则对称轴为直线 ，

设 ，则

解得

（ 3 ）

点 A 在抛物线上，且点 A 的横坐标为 m （ ）．以点 A 为中心，构造正方形 ， ，且 轴

，且 在 轴上，如图，

① 当抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而增大时，如图，当正方形 点 在 轴上时，此时 与 点重合，

的解析式为

，将 代入

即

解得

观察图形可知，当 时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而增大；

② 当抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而减小时，当 经过抛物线的对称轴 时，

解得 ，

观察图形可知，当 时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而增大；

综上所述， m 的取值范围为 或

（ 4 ）

① 如图，设正方形与抛物线的交点分别为 ，当 时，则

是正方形 的中心，

即

② 如图，当 点在抛物线对称轴左侧， 轴右侧时，

交点的纵坐标之差为 ，

的纵坐标为

的横坐标为

在抛物线 上，

解得

③ 当 在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为 ， ，设直线 交 轴于点 ，如图，

则

即

设直线 解析式为

则

解得

直线 解析式为

联立

解得 （舍去）

即 的横坐标为 ，即 ，

综上所述， 或 或 ．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．