8 的相反数是（ ）
A ． B ．
C ． 8 D ．
D
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【详解】解： 8 的相反数是 -8 ．
故选： D ．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．
某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是（ ）
A ．圆柱 B ．圆锥 C ．三棱柱 D ．四棱柱
C
【分析】根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
【详解】解： A 选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B 选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C 选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D 选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选： C ．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握 棱柱的底面是
边形是解题的关键．
下列运算结果正确的是（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
A
【分析】根据合并同类项判断 A 选项；根据同底数幂的除法判断 B 选项；根据同底数幂的乘法判断 C 选项；根据幂的乘方判断 D 选项．
【详解】解： A 选项，原式 ，故该选项符合题意；
B 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
C 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
D 选项，原式 ，故该选项不符合题意；
故选： A ．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握 是解题的关键．
某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续 7 天的销量（单位：袋）分别为： 105 ， 103 ， 105 ， 110 ， 108 ， 105 ， 108 ，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A ． 105 ， 108 B ． 105 ， 105 C ． 108 ， 105 D ． 108 ， 108
B
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为 103 ， 105 ， 105 ， 105 ， 108 ， 108 ， 110 ，
这组数据出现次数最多的是 105 ，
所以众数为 105 ，
最中间的数据是 105 ，
所以中位数是 105 ，
故选： B ．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
如图，已知 ，
于点
，若
，则
的度数是（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
C
【分析】根据直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：在 中，
，
，
则 ，
∵ ，
∴ ，
故选： C ．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
下列命题是真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．平行四边形的对角线互相垂直
C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
A
【分析】根据对顶角性质判断 A ，根据平行四边形的性质判断 B ，根据三角形的内心定义判断 C ，根据全等三角形的判定定理判断 D ．
【详解】 A. 对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故 A 符合题意；
B. 菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故 B 不符合题意；
C. 三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故 C 不符合题意；
D. 三角分别相等的两个三角形不一定全等，故 D 不符合题意；
故选： A ．
【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为（ ）
A ． 25 B ． 75 C ． 81 D ． 90
B
【分析】设城中有 户人家，利用鹿的数量
城中人均户数
城中人均户数，即可得出关于
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设城中有 户人家，
依题意得： ，
解得： ，
∴ 城中有 75 户人家．
故选： B ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
已知二次函数 （
为常数，
），点
是该函数图象上一点，当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A ． 或
B ．
C ． 或
D ．
A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与 轴的交点坐标，再分两种情况：
或
，根据二次函数的性质求得
的不同取值范围便可．
【详解】解： ∵ 二次函数 ，
∴ 对称轴为 ，抛物线与
轴的交点为
，
∵ 点 是该函数图象上一点，当
时，
，
∴① 当 时，对称轴
，
此时，当 时，
，即
，
解得 ；
② 当 时，对称轴
，
当 时，
随
增大而减小，
则当 时，
恒成立；
综上， 的取值范围是：
或
．
故选： A ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
使代数式 有意义的 x 的取值范围是 _______ ．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须
，从而可得答案．
【详解】解：代数式 有意义，
故答案为：
2022 年 5 月 14 日，编号为 B-001J 的 大飞机首飞成功．数据显示，
大飞机的单价约为 65300000 元，数据 653000000 用科学记数法表示为 ______ ．
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为 a ×10 n 的形式，其中 1≤| a | ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ≥10 时， n 是正整数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负整数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
如图，在 中，
，
于点
，若
，则
______ ．
3
【分析】根据等腰三角形的性质可知 是
的中点，即可求出
的长．
【详解】解： ∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 3 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
分式方程 的解为
______ ．
2
【分析】去分母，移项、合并同类项，再对所求的根进行检验即可求解．
【详解】解： ，
，
，
经检验 是方程的解．
故答案为： 2 ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 ______ ．
【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解不等式求出
的取值即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与
有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程无实数根．
聚焦 “ 双减 ” 政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类： A （节日文化篇）， （安全防疫篇），
（劳动实践篇），
（冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则
类作业有 ______ 份．
20
【分析】由条形统计图可得 A ， ，
类作业分别有 25 份， 30 份， 25 份，由扇形统计图可得
类作业份数占总份数的
，可得总份数为
份，减去 A ，
，
类作业的份数即可求解．
【详解】解： ∵ 类作业有 30 份，且
类作业份数占总份数的
，
∴ 总份数为： （份），
∵ A ， 类作业分别有 25 份， 25 份，
∴ 类作业的份数为：
（份）．
故答案为： 20 ．
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．
喜迎二十大， “ 龙舟故里 ” 赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点 处观看 200 米直道竞速赛．如图所示，赛道
为东西方向，赛道起点
位于点
的北偏西
方向上，终点
位于点
的北偏东
方向上，
米，则点
到赛道
的距离约为 ______ 米（结果保留整数，参考数据：
）．
87
【分析】过点 作
，垂足为
，设
米，然后分别在
和
中，利用锐角三角函数的定义求出
，
的长，再根据
米，列出关于
的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：过点 作
，垂足为
，
设 米，
在 中，
，
∴ （米），
在 中，
，
∴ （米），
∵ 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∴ 点 到赛道
的距离约为 87 米，
故答案为： 87 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 — 方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
如图，在 中，
为直径，
，
为弦，过点
的切线与
的延长线交于点
，
为线段
上一点（不与点
重合），且
．
（ 1 ）若 ，则
的长为 ______ （结果保留
）；
（ 2 ）若 ，则
______ ．
【分析】（ 1 ）根据圆周角定理求出 ∠ AOD =70° ，再利用弧长公式求解；
（ 2 ）解直角三角形求出 BC ， AD ， BD ，再利用相似三角形的性质求出 DE ， BE ，可得结论．
【详解】解：（ 1 ） ∵ ，
∴ 的长
；
故答案为： ；
（ 2 ）连接 ，
∵ 是切线，
是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．
计算： ．
1
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值等计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
已知 ，求代数式
的值．
-2
【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ 原式 ．
【点睛】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
如图，点 ，
分别在
的边
，
上，
，连接
，
．请从以下三个条件： ①
； ②
； ③
中，选择一个合适的作为已知条件，使
为菱形．
(1) 你添加的条件是 ______ （填序号）；
(2) 添加了条件后，请证明 为菱形．
(1)①
(2) 见解析
【分析】（ 1 ）添加合适的条件即可；
（ 2 ）证 ，得
，再由菱形的判定即可得出结论．
【详解】（ 1 ）解：添加的条件是 ．
故答案为： ① ．
（ 2 ）证明： ∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 为菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳 “ 吉祥三宝 ” 的新名片．某校生物兴趣小组设计了 3 张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
(1) 将这 3 张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是 “ 麋鹿 ” 的概率为 ______ ；
(2) 将这 3 张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是 “ 江豚 ” 和 “ 天鹅 ” 的概率．
(1)
(2)
【分析】（ 1 ）直接利用概率公式求解即可；
（ 2 ）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作 ① 、 ② 、 ③ ，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
（ 1 ）
将这 3 张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是 “ 麋鹿 ” 的概率为 ，
故答案为： ；
（ 2 ）
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作 ① 、 ② 、 ③ ，
列表如下：
| | ① | ② | ③ |
| ① | | | |
| ② | | | |
| ③ | | | |
由表知，共有 6 种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是 “ 江豚 ” 和 “ 天鹅 ” 的有 2 种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是 “ 江豚 ” 和 “ 天鹅 ” 的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
如图，反比例函数 与正比例函数
的图象交于点
和点
，点
是点
关于
轴的对称点，连接
，
．
(1) 求该反比例函数的解析式；
(2) 求 的面积；
(3) 请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．
(1)
(2)4
(3) 或
【分析】（ 1 ）把点 代入
可得
的值，求得反比例函数的解析式；
（ 2 ）根据对称性求得 、
的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
（ 3 ）根据图象得出不等式 的解集即可．
【详解】（ 1 ）解：把点 代入
得：
，
∴ ，
∴ 反比例函数的解析式为 ；
（ 2 ） ∵ 反比例函数 与正比例函数
的图象交于点
和点
，
∴ ，
∵ 点 是点
关于
轴的对称点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（ 3 ）根据图象得：不等式 的解集为
或
．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买 A ， 两种跳绳若干．若购买 3 根 A 种跳绳和 1 根
种跳绳共需 140 元；若购买 5 根 A 种跳绳和 3 根
种跳绳共需 300 元．
(1) 求 ，
两种跳绳的单价各是多少元？
(2) 若该班准备购买 ，
两种跳绳共 46 根，总费用不超过 1780 元，那么至多可以购买
种跳绳多少根？
(1) A 种跳绳的单价为 30 元， 种跳绳的单价为 50 元
(2) 至多可以购买 种跳绳 20 根
【分析】（ 1 ）设 种跳绳的单价为
元，
种跳绳的单价为
元．由题意：若购买 3 根
种跳绳和 1 根
种跳绳共需
元；若购买 5 根 A 种跳绳和 3 根
种跳绳共需 300 元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（ 2 ）设购买 种跳绳
根，则购买 A 种跳绳
根，由题意：总费用不超过 1780 元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（ 1 ）
解：设 A 种跳绳的单价为 元，
种跳绳的单价为
元．
根据题意得： ，
解得： ，
答： A 种跳绳的单价为 30 元， 种跳绳的单价为 50 元．
（ 2 ）
设购买 种跳绳
根，则购买 A 种跳绳
根，
由题意得： ，
解得： ，
答：至多可以购买 种跳绳 20 根．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（ 1 ）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（ 2 ）找出不等关系，正确列出一元一次不等式．
如图， 和
的顶点
重合，
，
，
，
．
(1) 特例发现：如图 1 ，当点 ，
分别在
，
上时，可以得出结论：
______ ，直线
与直线
的位置关系是 ______ ；
(2) 探究证明：如图 2 ，将图 1 中的 绕点
顺时针旋转，使点
恰好落在线段
上，连接
，（ 1 ）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3) 拓展运用：如图 3 ，将图 1 中的 绕点
顺时针旋转
，连接
、
，它们的延长线交于点
，当
时，求
的值．
(1) ，垂直
(2) 成立，理由见解析
(3)
【分析】（ 1 ）解直角三角形求出 ，
，可得结论；
（ 2 ）结论不变，证明 ，推出
，
，可得结论；
（ 3 ）如图 3 中，过点 作
于点
，设
交
于点
，过点
作
于点
求出
，
，可得结论．
(1)
解：在 中，
，
，
，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，此时
，
故答案为： ，垂直；
(2)
结论成立．
理由： ∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
(3)
如图 3 中，过点 作
于点
，设
交
于点
，过点
作
于点
．
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
，
当 时，四边形
是矩形，
∴ ，
，
设 ，则
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图 1 ，在平面直角坐标系 中，抛物线
：
经过点
和点
．
(1) 求抛物线 的解析式；
(2) 如图 2 ，作抛物线 ，使它与抛物线
关于原点
成中心对称，请直接写出抛物线
的解析式；
(3) 如图 3 ，将（ 2 ）中抛物线 向上平移 2 个单位，得到抛物线
，抛物线
与抛物线
相交于
，
两点（点
在点
的左侧）．
① 求点 和点
的坐标；
② 若点 ，
分别为抛物线
和抛物线
上
，
之间的动点（点
，
与点
，
不重合），试求四边形
面积的最大值．
(1)
(2)
(3)① 或
； ②16
【分析】（ 1 ）将点 和点
代入
，即可求解；
（ 2 ）利用对称性求出函数 顶点
关于原点的对称点为
，即可求函数
的解析式；
（ 3 ） ① 通过联立方程组 ，求出
点和
点坐标即可；
② 求出直线 的解析式，过点
作
轴交
于点
，过点
作
轴交于点
，设
，
，则
，
，可求
，
，由
，分别求出
的最大值 4 ，
的最大值 4 ，即可求解．
（ 1 ）
解：将点 和点
代入
，
∴ ，解得
，
∴ ．
（ 2 ）
∵ ，
∴ 抛物线的顶点 ，
∵ 顶点 关于原点的对称点为
，
∴ 抛物线 的解析式为
，
∴ ．
（ 3 ）
由题意可得，抛物线 的解析式为
，
① 联立方程组 ，
解得 或
，
∴ 或
；
② 设直线 的解析式为
，
∴ ，解得
，
∴ ，
过点 作
轴交
于点
，过点
作
轴交于点
，如图所示：
设 ，
，
则 ，
，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴ 当 时，
有最大值
，
当 时，
有最大值
，
∵ ，
∴ 当 最大时，四边形
面积的最大值为 16 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．