如图所示，在等腰三角形 ABC 中， AB = AC ，点 E ， F 在线段 BC 上，点 Q 在线段 AB 上，且 CF = BE ， AE ²= AQ · AB 求证：

(1)∠ CAE =∠ BAF ；

(2) CF · FQ = AF · BQ

答案

(1) 见解析

(2) 见解析

【分析】（ 1 ）利用 SAS 证明 △ ACE ≌△ ABF 即可；

（ 2 ）先证 △ ACE ∽△ AFQ 可得 ∠ AEC =∠ AQF ，求出 ∠ BQF =∠ AFE ，再证 △ CAF ∽△ BFQ ，利用相似三角形的性质得出结论．

【详解】（ 1 ）证明： ∵ AB = AC ，

∴∠ B =∠ C ，

∵ CF = BE ，

∴ CE = BF ，

在 △ ACE 和 △ ABF 中， ，

∴ △ ACE ≌ △ ABF （ SAS ），

∴∠ CAE =∠ BAF ；

（ 2 ）证明： ∵ △ ACE ≌ △ ABF ，

∴ AE ＝ AF ， ∠ CAE =∠ BAF ，

∵ AE ²= AQ · AB ， AC ＝ AB ，

∴ ，即 ，

∴ △ ACE ∽△ AFQ ，

∴∠ AEC =∠ AQF ，

∴∠ AEF =∠ BQF ，

∵ AE ＝ AF ，

∴∠ AEF =∠ AFE ，

∴∠ BQF =∠ AFE ，

∵∠ B =∠ C ，

∴ △ CAF ∽△ BFQ ，

∴ ，即 CF · FQ = AF · BQ ．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．