回顾：用数学的思维思考
(1) 如图 1 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ．
① BD ， CE 是 △ ABC 的角平分线．求证： BD ＝ CE ．
② 点 D ， E 分别是边 AC ， AB 的中点，连接 BD ， CE ．求证： BD ＝ CE ．
（从 ①② 两题中选择一题加以证明）
(2) 猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， D 为边 AC 上一动点（不与点 A ， C 重合）．对于点 D 在边 AC 上的任意位置，在另一边 AB 上总能找到一个与其对应的点 E ，使得 BD ＝ CE ．进而提出问题：若点 D ， E 分别运动到边 AC ， AB 的延长线上， BD 与 CE 还相等吗？请解决下面的问题：
如图 2 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得 BD ＝ CE ，并证明．
(3) 探究：用数学的语言表达
如图 3 ，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 2 ， ∠ A ＝ 36° ， E 为边 AB 上任意一点（不与点 A ， B 重合）， F 为边 AC 延长线上一点．判断 BF 与 CE 能否相等．若能，求 CF 的取值范围；若不能，说明理由．
答案
(1) 见解析
(2) 添加条件 CD = BE ，见解析
(3) 能， 0 ＜ CF ＜
【分析】（ 1 ） ① 利用 ASA 证明 △ ABD ≌△ ACE ．
② 利用 SAS 证明 △ ABD ≌△ ACE ．
（ 2 ）添加条件 CD = BE ，证明 AC + CD = AB + BE ，从而利用 SAS 证明 △ ABD ≌△ ACE ．
（ 3 ）在 AC 上取一点 D ，使得 BD = CE ，根据 BF = CE ，得到 BD = BF ，当 BD = BF = BA 时，可证 △ CBF ∽△ BAF ，运用相似性质，求得 CF 的长即可．
【详解】（ 1 ） ① 如图 1 ， ∵ AB = AC ，
∴∠ ABC =∠ ACB ，
∵ BD ， CE 是 △ ABC 的角平分线，
∴∠ ABD = ∠ ABC ， ∠ ACE =
∠ ACB ，
∴∠ ABD =∠ ACE ，
∵ AB = AC ， ∠ A =∠ A ，
∴△ ABD ≌△ ACE ，
∴ BD = CE ．
② 如图 1 ， ∵ AB = AC ，点 D ， E 分别是边 AC ， AB 的中点，
∴ AE = AD ，
∵ AB = AC ， ∠ A =∠ A ，
∴△ ABD ≌△ ACE ，
∴ BD = CE ．
（ 2 ）添加条件 CD = BE ，证明如下：
∵ AB = AC ， CD = BE ，
∴ AC + CD = AB + BE ，
∴ AD = AE ，
∵ AB = AC ， ∠ A =∠ A ，
∴△ ABD ≌△ ACE ，
∴ BD = CE ．
（ 3 ）能
在 AC 上取一点 D ，使得 BD = CE ，根据 BF = CE ，得到 BD = BF ，
当 BD = BF = BA 时， E 与 A 重合，
∵∠ A ＝ 36° ， AB = AC ，
∴∠ ABC =∠ ACB =72° ， ∠ A =∠ BFA =36° ，
∴∠ ABF =∠ BCF =108° ， ∠ BFC =∠ AFB ，
∴ △ CBF ∽△ BAF ，
∴ ，
∵ AB ＝ AC ＝ 2= BF ， 设 CF = x ，
∴ ，
整理，得 ，
解得 x = ， x =
（舍去），
故 CF = x = ，
∴0 ＜ CF ＜ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
