如图，抛物线 （ b ， c 是常数）的顶点为 C ，与 x 轴交于 A ， B 两点， ， ，点 P 为线段 上的动点，过 P 作 // 交 于点 Q ．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 求 面积的最大值，并求此时 P 点坐标．

答案

(1)

(2)2 ； P （ -1 ， 0 ）

【分析】（ 1 ）用待定系数法将 A ， B 的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；

（ 2 ）分别求出 C 点坐标，直线 AC ， BC 的解析式， PQ 的解析式为： y =-2 x + n ，进而求出 P ， Q 的坐标以及 n 的取值范围，由 列出函数式求解即可．

【详解】（ 1 ）解： ∵ 点 A （ 1 ， 0 ）， AB =4 ，

∴ 点 B 的坐标为（ -3 ， 0 ），

将点 A （ 1 ， 0 ）， B （ -3 ， 0 ）代入函数解析式中得：

，

解得： b =2 ， c =-3 ，

∴ 抛物线的解析式为 ；

（ 2 ）解：由（ 1 ）得抛物线的解析式为 ，

顶点式为： ，

则 C 点坐标为：（ -1 ， -4 ），

由 B （ -3 ， 0 ）， C （ -1 ， -4 ）可求直线 BC 的解析式为： y =-2 x - 6 ，

由 A （ 1 ， 0 ）， C （ -1 ， -4 ）可求直线 AC 的解析式为： y =2 x -2 ，

∵ PQ ∥ BC ，

设直线 PQ 的解析式为： y =-2 x + n ，与 x 轴交点 P ，

由 解得： ，

∵ P 在线段 AB 上，

∴ ，

∴ n 的取值范围为 -6 ＜ n ＜ 2 ，

则

∴ 当 n =-2 时，即 P （ -1 ， 0 ）时， 最大，最大值为 2 ．

【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．