如图，在 ⊙ O 中， AB 是 ⊙ O 的直径， AB ＝ 10 ， = = ，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， M 是 AB 上的一动点，下列结论： ①∠ BOE =30° ； ②∠ DOB =2∠ CED ； ③ DM ⊥ CE ； ④ CM + DM 的最小值是 10 ，上述结论中正确的个数是（ ）

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4

答案

B

【解析】

【分析】

根据 = = 和点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，求出 ∠ DOB =∠ COD =∠ BOE =60° ，求出 ∠ CED ，即可判断 ①② ；根据圆周角定理求出当 M 和 A 重合时 ∠ MDE =60° 即可判断 ③ ；求出 M 点的位置，根据圆周角定理得出此时 DF 是直径，即可求出 DF 长，即可判断 ④ ．

【详解】

解： ∵ = = ，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点，

∴ = ，

∴∠ DOB =∠ BOE =∠ COD = ×180°=60° ， ∴① 错误；

∠ CED = ∠ COD = ×60°=30°= ∠ DOB ，即 ∠ DOB =2∠ CED ； ∴② 正确；

∵ 的度数是 60° ，

∴ 的度数是 120° ，

∴ 只有当 M 和 A 重合时， ∠ MDE =60° ，

∵∠ CED =30° ，

∴ 只有 M 和 A 重合时， DM ⊥ CE ， ∴③ 错误；

作 C 关于 AB 的对称点 F ，连接 CF ，交 AB 于 N ，连接 DF 交 AB 于 M ，此时 CM + DM 的值最短，等于 DF 长，

连接 CD ，

∵ = = = ，并且弧的度数都是 60° ，

∴∠ D = ×120°=60° ， ∠ CFD = ×60°=30° ，

∴∠ FCD =180°-60°-30°=90° ，

∴ DF 是 ⊙ O 的直径，

即 DF = AB =10 ，

∴ CM + DM 的最小值是 10 ， ∴④ 正确；

综上所述，正确的个数是 2 个．

故选： B ．

【点睛】

本题考查了圆周角定理，轴对称 - 最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出 M 的位置是解此题的关键．