如图,在平面直角坐标系中,抛物线 交 轴于点 和 ,交 轴于点 ,抛物线的对称轴交 轴于点 ,交抛物线于点 .
( 1 )求抛物线的解析式;
( 2 )将线段 绕着点 沿顺时针方向旋转得到线段 ,旋转角为 ,连接 , ,求 的最小值.
( 3 ) 为平面直角坐标系中一点,在抛物线上是否存在一点 ,使得以 , , , 为顶点的四边形为矩形?若存在,请直接写出点 的横坐标;若不存在,请说明理由;
( 1 ) ;( 2 ) ;( 3 )存在, 点的横坐标分别为: 2 , , 或 .
【解析】
【分析】
( 1 )待定系数法求二次函数解析式,设解析式为 将 , 两点代入求得 , c 的值即可;
( 2 )胡不归问题,要求 的值,将折线化为直线,构造相似三角形将 转化为 ,再利用三角形两边之和大于第三边求得 最值;
( 3 )分 2 种情形讨论: ① AB 为矩形的一条边,利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得 N 点的坐标 ;
② AB 为矩形的对角线,设 R 为 AB 的中点 , RN = AB , 利用两点距离公式求解方程可得 N 点的坐标.
【详解】
解:( 1 ) ∵ 过 ,
∴
∴ ,
∴ 抛物线的解析式为:
( 2 )在 上取一点 ,使得 ,连接 ,
∵
对称轴 .
∴ ,
,
∴ ,
∴
∴
∴
当 , , 三点在同一点直线上时, 最小为 .
在 中, ,
∴
即 最小值为 .
( 3 )情形 ① 如图, AB 为矩形的一条边时,
联立
得
是等腰 ,
分别过 两点作 的垂线,交 于点 ,
过 作 轴, 轴 ,
, 也是等腰直角三角形
设 ,则 ,所以
代入 ,解得 , (不符题意,舍)
同理,设 ,则 ,所以
代入 ,解得 , (不符题意,舍)
② AB 为矩形的对角线,设 R 为 AB 的中点 , 则
,
设 ,则
整理得:
解得: (不符题意,舍), (不符题意,舍),
,
综上所述: 点的横坐标分别为: 2 , , 或 .
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,待定系数法求解析式,三角形相似,勾股定理,二次函数与一次函数交点,矩形的性质,等腰直角三角形性质,平面直角坐标系中两点距离计算等知识,能正确做出辅助线,找到相似三角形是解题的关键.
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