某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（ 1 ）如图 1 ，在正方形 中，点
，
分别是
，
上的两点，连接
，
，
，则
的值为 __________ ；
（ 2 ）如图 2 ，在矩形 中，
，
，点
是
上的一点，连接
，
，且
，则
的值为 __________ ；
【类比探究】
（ 3 ）如图 3 ，在四边形 中，
，点
为
上一点，连接
，过点
作
的垂线交
的延长线于点
，交
的延长线于点
，求证：
；
【拓展延伸】
（ 4 ）如图 4 ，在 中，
，
，
，将
沿
翻折，点
落在点
处得
，点
，
分别在边
，
上，连接
，
，且
．
① 求 的值；
② 连接 ，若
，直接写出
的长度．
答案
（ 1 ） 1 ；（ 2 ） ；（ 3 ）证明见解析；（ 4 ） ①
； ②
．
【解析】
【分析】
（ 1 ）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，由此即可得出答案；
（ 2 ）先根据矩形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质可得
，然后根据相似三角形的判定与性质即可得；
（ 3 ）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得 ，再根据直角三角形的性质、对顶角相等可得
，然后根据相似三角形的判定可得
，由此即可得证；
（ 4 ） ① 如图（见解析），先证出 ，从而可得
，再分别在
和
中，解直角三角形可得
，
，然后根据翻折的性质可得
，最后利用
的面积公式求出
的长，由此即可得出答案；
② 先根据（ 4 ） ① 中，相似三角形的性质可得 ，可求出
，再根据翻折的性质可得
，然后在
中，利用勾股定理可得
，从而可得
，最后在
中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：（ 1 ） 四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
，
，
；
（ 2 ） 四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
，
；
（ 3 ）如图，过点 作
交
的延长线于点
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 四边形 为矩形，
∴ ，
，
，
，
，
，
在 和
中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（ 4 ） ① 过 作
于点
，连接
交
于点
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
在 和
中，
，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，
在 中，
，
设 ，则
，
∴ ，即
，
∴ 或
（舍去），
∴ ，
，
由翻折的性质得： ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
② 由（ 4 ） ① 已证： ，
，
，
，
，解得
，
由翻折的性质得： ，
在 中，
，
，
在 中，
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（ 4 ） ① ，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
