渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为 30 元 / 千克，根据市场调查发现，批发价定为 48 元 / 千克时，每天可销售 500 千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低 1 元，每天销量可增加 50 千克．

（ 1 ）写出工厂每天的利润 元与降价 元之间的函数关系．当降价 2 元时，工厂每天的利润为多少元？

（ 2 ）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（ 3 ）若工厂每天的利润要达到 9750 元，并让利于民，则定价应为多少元？

答案

（ 1 ） ， 9600 ；（ 2 ）降价 4 元，最大利润为 9800 元；（ 3 ） 43

【解析】

【分析】

（ 1 ）若降价 元，则每天销量可增加 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入 求出对应函数值即可；

（ 2 ）将（ 1 ）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；

（ 3 ）令 可解出对应的 的值，然后根据 “ 让利于民 ” 的原则选择合适的 的值即可．

【详解】

（ 1 ）若降价 元，则每天销量可增加 千克，

∴ ，

整理得： ，

当 时， ，

∴ 每天的利润为 9600 元；

（ 2 ） ，

∵ ，

∴ 当 时， 取得最大值，最大值为 9800 ，

∴ 降价 4 元，利润最大，最大利润为 9800 元；

（ 3 ）令 ，得： ，

解得： ， ，

∵ 要让利于民，

∴ ， （元）

∴ 定价为 43 元．

【点睛】

本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．