已知正方形 的边长为 4 个单位长度,点 是 的中点,请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹).
( 1 )在图 1 中,将直线 绕着正方形 的中心顺时针旋转 ;
( 2 )在图 2 中,将直线 向上平移 1 个单位长度.
( 1 )见解析;( 2 )见解析
【分析】
( 1 )连接 BD 与 AC 相交于 O ,连接 AE 与 BD 相交于 P ,连接 CP 并延长交 AD 于 F ,直线 OF 即为所求;
( 2 )设 AE 与 OF 交于 G ,连接 OE 交 CF 于 H ,则直线 GH 即为所求.
【详解】
( 1 )如图,直线 OF 即为所求;
∵ AD = CD , ∠ ADP =∠ CDP =45° , DP = DP ,
∴△ ADP △ CDP ,
∴∠ DAE =∠ DCF ,
∵ AD = CD , ∠ ADE =∠ CDF =90° ,
∴△ ADE △ CDF ,
∴ DE = DF ,
∵ 点 E 是 CD 的中点,
∴ 点 F 是 AD 的中点,
∵∠ AOD =90° ,且 AO = OD ,
∴∠ AOF =45° ;
( 1 )如图,直线 GH 即为所求;
由三角形中位线定理知 OG = CF =1 , OH = AF =1 ,且 ∠ GOH =90° ,
∴ OG = OH ,
∴△ GOH 是等腰直角三角形,
∴∠ HOC =∠ OHG =45° ,
∴ GH ∥ AC ,且 OG =1 .
【点睛】
本题考查了正方形的性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定理,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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